100以内的质数

　　质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数称为质数。

　　求解一个算法,我们首先要知道它的数学含义.依据这个原则,首先我们要知道什么是素数.; 素数是这样的整数,它除了表示为它自己和1的乘积以外,无论他表示为任何两个整数的乘积。

找素数的方法多种多样。

#include <stdio.h>
#include<math.h>

void main(){
    int i,j;
    for (i=2;i<100;i++){
        int flag=0;
        for (j=2;j<sqrt(i);j++){//从2到sqrt(i)进行判断 
            if(i%j==0) flag=1;//若存在其他因子，flag=1 
        }
        if(flag==0) printf("%d-",i);//flag==0则表示不存在除了1和本身的其他因子。可以输出。  
    }
} 

　　1：是从2开始用“是则留下，不是则去掉”的方法把所有的数列出来（一直列到你不想再往下列为止，比方说，一直列到10，000）。第一个数是2，它是一个素数，所以应当把它留下来，然后继续往下数，每隔一个数删去一个数，这样就能把所有能被2整除、因而不是素数的数都去掉。在留下的最小的数当中，排在2后面的是3，这是第二个素数，因此应该把它留下，然后从它开始往后数，每隔两个数删去一个，这样就能把所有能被3整除的数全都去掉。下一个未去掉的数是5，然后往后每隔4个数删去一个，以除去所有能被5整除的数。再下一个数是7，往后每隔6个数删去一个；再下一个数是11，往后每隔10个数删一个；再下一个是13，往后每隔12个数删一个。就这样依法做下去。

但是编程我们一般不采用上面的方法，并不说这中方法计算机实现不了，或者说实现算法比较复杂。因为它更像一个数学推理。最后我们也给一个算法。

下面我们介绍几种长用的编程方法。

       2：遍历２以上Ｎ的平方根以下的每一个整数，是不是能整除Ｎ;(这是最基本的方法）

　　其实只要从 2 一直尝试到√x，就可以了。估计有些网友想不通了，为什么只要到√x 即可？
　　简单解释一下：因数都是成对出现的。比如，100的因数有：1和100，2和50，4和25，5和20，10和10。看出来没有？成对的因数，其中一个必然小于等于100的开平方，另一个大于等于100的开平方。至于严密的数学证明，用小学数学知识就可以搞定，俺就不啰嗦了。

       3：遍历２以上Ｎ的平方根以下的每一个素数，是不是能整除Ｎ;(这个方法是上面方法的改进，但要求N平方根以下的素数已全部知道)
       4：采用Rabin-Miller算法进行验算；

例如：Ｎ=２^１２７-１是一个３８位数，要验证它是否为素数，用上面几个不同的方法：

验算结果，假设计算机能每秒钟计算１亿次除法，那么
算法2要用４１３６年，算法3要用９３年，算法4只要不到１秒钟！(这些数据是通过计算得到)

 

 

下面我们分别实现上面的三种算法：

以下算法我们不涉及内存溢出，以及大数字的问题。如果测试数字超过2^32，发生内存溢出，你需要自己使用策略解决这个问题，在这里只讨论32位机有效数字算法。

1：// 算法0：是从2开始用“是则留下，不是则去掉”的方法把所有的数列出来

// 最后数组中不为0的数字就是要查找的素数。
void PrimeNumber0()
{
     //   int time ::GetTickCount();
     //   cout << "start time:" << time << endl;
 
     int Max[MAX_NUMBER];        // 在栈上分配，栈上空间要求一般都在2M之间，
     //   如果你需要更大空间，请在堆上申请空间(就是通过malloc，new来申请).
     memset(Max,0,MAX_NUMBER);
     for(int i = 0 ; i < MAX_NUMBER; ++i)
     {
          Max[i] = i;
     }
     int cout = 0;// 记录当前i的位置
 
     // 遍历整个数组
     for(i = 1; i < MAX_NUMBER; ++i)
     {
         if(Max[i] != 0 )// 如果数据不为0，说明是一个素数
         {
              int iCout = i;
              int j = Max[i];// 记录数组中数组位的数字，以便设置
              while((iCout+=j) < MAX_NUMBER)
              {
                   // 把不是素数的数位在数组中置为0
                   Max[iCout] = 0;
              }
              ++cout;
         }
     }
 
     //   int time ::GetTickCount();
     //   cout << "end time:" << time << endl;
}

 

2：这个算法可以修改成为，验证一个给定数字是否是一个素数。

// 因为我们讨论多个算法，所以我们把每个算法都单独
// 写在一个或多个函数内。这些函数并不要求输入值和返回值
// 如果你需要这些结果，可以自己修改。
 
// 算法1：遍历２以上Ｎ的平方根以下的每一个整数，是不是能整除Ｎ;
void PrimeNumber1()
{
//   int time ::GetTickCount();
//   cout << "start time:" << time << endl;
 
     int Max[MAX_NUMBER/2];      // 在栈上分配，栈上空间要求一般都在2M之间，
//   如果你需要更大空间，请在堆上申请空间(就是通过malloc，new来申请).素数的个数很少
// 所以没有必要申请和所求数字同样大小的空间。
     memset(Max,0,MAX_NUMBER);
     Max[0] = 2;// 放入第一个素数，有人说2不是素数，如果你是其中一员，就改成3吧
     int cout = 1;// 记录素数个数
 
     // 挨个数进行验证
     bool bflag = true;
     for(int i = 3; i < MAX_NUMBER; ++i)
     {
         bflag = true;
         // 需要是使用数学库（math.h）中sqrt
         int iTemp = (int)sqrt((float)i);// 强制转换成int类型,有的人在这里使用i＋1就是为了增加sqrt的精度
         // 没有特殊函数，你也可以使用int iTemp = (int)sqrt(i)＋1;来提高进度
         for (int j = 2; j < iTemp; ++j)
         {
              if(i%j == 0)// 求余，如果为0说明，可以整除，不是素数。
              {
                   bflag = false;
                   break;
              }
         }
         // 经过验证是素数，放入数组。
         if(bflag)
         {
              Max[cout++] = i;
         }
     }
 
//   int time ::GetTickCount();
//   cout << "end time:" << time << endl;
 
}

 

3：这个方法是上面方法的改进，但要求N平方根以下的素数已全部知道

// 算法2：遍历２以上Ｎ的平方根以下的每一个素数，是不是能整除Ｎ;
// (这个方法是上面方法的改进，但要求N平方根以下的素数已全部知道)
void PrimeNumber2()
{
     //   int time ::GetTickCount();
     //   cout << "start time:" << time << endl;
 
     int Max[MAX_NUMBER/2];      // 在栈上分配，栈上空间要求一般都在2M之间，
     //   如果你需要更大空间，请在堆上申请空间(就是通过malloc，new来申请).素数的个数很少
     // 所以没有必要申请和所求数字同样大小的空间。
     memset(Max,0,MAX_NUMBER);
     Max[0] = 2;// 放入第一个素数，有人说2不是素数，如果你是其中一员，就改成3吧
     int cout = 1;// 记录素数个数
 
     // 挨个数进行验证
     bool bflag = true;
     for(int i = 3; i < MAX_NUMBER; ++i)
     {
         bflag = true;
         // 需要是使用数学库（math.h）中sqrt
         int iTemp = (int)sqrt((float)i);// 强制转换成int类型,有的人在这里使用i＋1就是为了增加sqrt的精度
         // 没有特殊函数，你也可以使用int iTemp = (int)sqrt(i)＋1;来提高进度
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
         // 修改的是这里以下的部分
         for (int j = 0; j < cout; ++j)
         {
              if(i%Max[j] == 0)// 求余，如果为0说明，可以整除，不是素数。
              {
                   bflag = false;
                   break;
              }
         }
         // 修改的是这里以上的部分
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
         // 经过验证是素数，放入数组。
         if(bflag)
         {
              Max[cout++] = i;
         }
     }
 
     //   int time ::GetTickCount();
     //   cout << "end time:" << time << endl;
 
}

 

4：采用Rabin-Miller算法进行验算，Rabin-Miller算法是典型的验证一个数字是否为素数的方法。判断素数的方法是Rabin-Miller概率测试，那么他具体的流程是什么呢。假设我们要判断n是不是素数，首先我们必须保证n 是个奇数，那么我们就可以把n 表示为 n = (2^r)*s+1,注意s 也必须是一个奇数。然后我们就要选择一个随机的整数a (1<=a<=n-1)，接下来我们就是要判断 a^s=1 (mod n) 或a^((2^j)*s)= -1（mod n）(0<=j<R),如果任意一式成立，我们就说n通过了测试，但是有可能不是素数也能通过测试。所以我们通常要做多次这样的测试，以确保我们得到的是一个素数。（DDS的标准是要经过50次测试）

 

// 算法3：采用Rabin-Miller算法进行验算
//首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。
 
//（1） 选择一个小于p的随机数a。
//（2） 设j=0且z=a^m mod p
//（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
//（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
//（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
//（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数
 
// 判定是否存在 a^s=1 (mod n) 或a^((2^j)*s)= -1（mod n）(0<=j<R),
 
bool Witness(int a,int n)
{
     // 解释一下数学词汇：
     // ceil求不小于x的最小整数，函数原型extern float ceil(float x);求得i的最大值
     // log计算x的自然对数,函数原型extern float log(float x);
     long i,d=1,x;
     for (i=(int)ceil(log((double)n-1)/log(2.0))-1;i>=0;--i)
     {
         x=d;
         d=(d*d)%n;
         if ((1==d) && (x!=1) && (x!=n-1))
         {
              return 1;
         }
         if ((n-1)&(1<0))
         {
              d=(d*a)%n;
         }
     }
     return (d!=1);
 
}
 
// 参数n，是要测定的数字，s是要内部测试的次数。
bool Rabin_Miller(int n,int s)
{
     for (int j = 0;j < s; ++j)
     {
          int a = rand()*(n-2)/RAND_MAX + 1;// 获得一个随机数1<=a<=n-1
         if (Witness(a,n))// 利用这个随即数和n进行判断对比，只要有一次返回true，就说明n不是一个素数
         {
              return false;
         }
     }
     return true;// 通过验证是一个素数
}
 
// 算法3：采用Rabin-Miller算法进行验算
// 这个算法是求大素数使用的。所以你的必须想办法支持大数字运算，
// 不然极易造成内存访问失效,我在我的机子上，MAX_NUMBER＝10000时就会出现问题，1000就没有问题
void PrimeNumber3()
{
    
     int Max[MAX_NUMBER/2];// 在栈上分配，栈上空间要求一般都在2M之间，
     //   如果你需要更大空间，请在堆上申请空间(就是通过malloc，new来申请).素数的个数很少
     // 所以没有必要申请和所求数字同样大小的空间。
     int cout = 0;// 记录素数个数
     memset(Max,0,MAX_NUMBER/2);
 
     for(int i = 2; i < 1000; ++i)
     {
         if(Rabin_Miller(i,20))
         {
              Max[cout++] = i;
         }
     }
}

　　Miller-Rabin算法是目前主流的基于概率的素数测试算法，在构建密码安全体系中占有重要的地位。通过比较各种素数测试算法和对Miller-Rabin算法进行的仔细研究，证明在计算机中构建密码安全体系时， Miller-Rabin算法是完成素数测试的最佳选择。通过对Miller-Rabin 算 法底层运算的优化，可以取得较以往实现更好的性能。随着信息技术的发展、网络的普及和电子商务的开展， 信息安全逐步显示出了其重要性。信息的泄密、伪造、篡改 等问题会给信息的合法拥有者带来重大的损失。在计算机中构建密码安全体系可以提供4种最基本的保护信息安全的服 务：保密性、数据完整性、鉴别、抗抵赖性，从而可以很大 程度上保护用户的数据安全。在密码安全体系中，公开密钥 算法在密钥交换、密钥管理、身份认证等问题的处理上极其有效，因此在整个体系中占有重要的地位。目前的公开密钥 算法大部分基于大整数分解、有限域上的离散对数问题和椭 圆曲线上的离散对数问题，这些数学难题的构建大部分都需 要生成一种超大的素数，尤其在经典的RSA算法中，生成的素数的质量对系统的安全性有很大的影响。目前大素数的生成，尤其是随机大素数的生成主要是使用素数测试算法，本 文主要针对目前主流的Miller-Rabin 算法进行全面系统的分析和研究，并对其实现进行了优化。