UVALive 6602 Counting Lattice Squares

给定一个n*m的网格，求面积为奇数的正方形有多少个.

首先是n*m个面积为1的，然后剩下的要么是边长为奇数，要么被这样一个奇数边长所包围。

原因如下：

对于一个边长不平行于坐标抽的正方形，其边长一定是某个长方形的对角线，而且长方形长宽a,b一定是一奇数，一偶数，这样area = a^2+b^2才是奇数。

所以可以对任何奇数i <= min(n, m) 求出这样的边长正方形以及被包围的正方形个数。

注意对于一个奇数例如5，被包围的正方形可以是以1和4的对角线，2和3的对角线为边，这样对任何一个奇数i，被包围的正方形有i/2个，根据对称性还应该*2。

w-i+1表示宽方向能够移动的次数，l-i+1表示长度方向能够移动的次数，例如图5，长和宽方向均能移动2次。

ans = n*m（单位正方形） +

{2*（w-i+1)*(l-i+1)*(i/2) + (w-i+1)*(l-i+1)}    i为 3<=i<=min(n, m)的奇数。

后来在最后完成这篇博客的时候想到能不能把式子简化一下呢，然后化简就得到这个：ans = ∑{ (w*l+w+l+1)*i – (w+l+2)*i*i + i*i*i} i为1到min（l,w)之间的奇数。

甚至可以推广到面积为偶数的情况：

公式：ans = ∑{ (w*l+w+l+1)*i – (w+l+2)*i*i + i*i*i} i为1到min（l,w)之间的偶数。

如果是求所有的正方形个数的话，只要把i从1取到min（w,l)就行了。

注意程序中预处理一下i，i*i，i*i*i的和。

下面只上化简后公式实现的代码好了。

time：29ms

//Date: 20140211
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <cstdio>
#include <climits>
#include <ctime>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <stack>
#include <map>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
#define  esp 1e-3
#define  pi acos(-1.0)
#define  inf 0x0f0f0f0f
#define  pb push_back
#define  lson l, m, rt<<1
#define  rson m+1, r, rt<<1|1
#define  mp(a, b) make_pair((a), (b))
#define  in  freopen("test_in.txt", "r", stdin);
#define  out freopen("test_out.txt", "w", stdout);
#define  bug puts("********))))))");
#define  inout in out
#define  stop  system("pause");
#define  PRD(a) printf("%d
",(a))
#define  PRLD(a) printf("%lld
", (a))
#define  PRID(a) printf("%I64d
", (a))
#define  PRU(a) printf("%u
", (a))
#define  PRLU(a) printf("%llu
", (a))
#define  PRIU(a) printf("%I64u
", (a))
#define  SET(a, v) memset(a, (v), sizeof(a))
#define  READ(a, n) {REP(i, n) cin>>a[i];}
#define  REP(i, n) for(int i = 0; i < (n); i++)
#define  Rep(i, base, n) for(int i = base; i < n; i++)
#define  REPS(s) for(int i = 0; s[i]; i++)
#define  pf(x) ((x)*(x))
#define  Log(a, b) (log((double)b)/log((double)a))
#define Srand() srand((int)time(0))
#define random(number) (rand()%number)
#define random_range(a, b) (int)(((double)rand()/RAND_MAX)*(b-a) + a)

/*
   1. 点分治，atan和atan2返回弧度值，atan值域为（-pi/2, pi/2), atan2值域为(-pi, pi) ；
   2. exp(x)用于计算e^x ；
   3. log2和log10分别用来计算对数, log默认以e为底 ；
   4. sort中比较函数的原型:bool cmp(const Type &a, const Type &b);
   5. lower_bound和upper_bound返回的是相应下标对应的指针 ；
   6. dfs时注意利用强剪枝和避免重复状态进行优化 ；
   7. 尽量减少不必要的状态表示的维度 ；
   8. greater<T> () less<T> () ；
   9. 尽量少用strlen,尤其是在递归深度较大，字符串较长的时候，容易超时；少用memset ；
   10.不要在函数里面开数组，易暴栈 ；
*/

using namespace std;
typedef long long  LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef vector<int> VI;
typedef pair<int,int> pii;
typedef vector<pii> VII;
typedef vector<pii, int> VIII;
typedef VI:: iterator IT;
typedef map<string, int> Mps;
typedef map<int, int> Mpi;
typedef map<int, pii> Mpii;
typedef map<pii, int> Mpiii;

template<class T> inline const T& Max(const T& a, const T& b)
{
    return a < b ? b : a;
}
template<class T> inline const T& Min(const T& a, const T& b)
{
    return a < b ? a : b;
}
template<class T> inline void checkMax(T& a, const T& b)
{
    if(a < b) a = b;
}
template<class T> inline void checkMin(T& a, const T& b)
{
    if(a > b) a = b;
}

const int maxn = 100000 + 100;
LL f[maxn], g[maxn], h[maxn];
void pre()
{
    f[1] = g[1] = h[1] = 1;
    for(int i = 3; i < maxn; i += 2) {
        f[i] = f[i-2] + i;
        g[i] = g[i-2] + (LL)i*i;
        h[i] = h[i-2] + (LL)i*i*i;
    }
}
int main()
{

    LL n, m;
    pre();
    while(scanf("%lld%lld", &n, &m), n||m) {
        LL k = min(n, m);
        if((k&1) == 0)
            k--;
        LL ans = (n*m+n+m+1)*f[k]-(n+m+2)*g[k]+h[k];
        printf("%lld
", ans);
    }
    return 0;
}