题目描述
有 n 件工作要分配给 n 个人做。第 i 个人做第 j 件工作产生的效益为 c[i][j] 。试设计一个将 n 件工作分配给 n 个人做的分配方案，使产生的总效益最大。
输入格式：
文件的第 1 行有 1 个正整数 n，表示有 n 件工作要分配给 n个人做。
接下来的n 行中，每行有 n 个整数 c[i][j]，表示第 i个人做第 j 件工作产生的效益为 c[i][j]。
输出格式：
两行分别输出最小总效益和最大总效益。
求最小总效益就是经典的指派问题，最大总收益只要把c乘-1再求最小就可以。
这里举个例子
n = 5，c为下表
| 12 | 7 | 9 | 7 | 9 |
|---|---|---|---|---|
| 8 | 9 | 6 | 6 | 6 |
| 7 | 17 | 12 | 14 | 9 |
| 15 | 14 | 6 | 6 | 10 |
| 4 | 10 | 7 | 10 | 9 |
第一步：每行减去该行最小的数，保证每行都有0。
| 5 | 0 | 2 | 0 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 10 | 5 | 7 | 2 |
| 9 | 8 | 0 | 0 | 4 |
| 0 | 6 | 3 | 6 | 5 |
第二步：每列减去该列最小的数，保证每行每列都有0。
| 5 | 0 | 2 | 0 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 10 | 5 | 7 | 2 |
| 9 | 8 | 0 | 0 | 4 |
| 0 | 6 | 3 | 6 | 5 |
第三步：
从单个0元素的行开始，给0加圈，记作O,然后划去所在行的其它0元素，记为X。
第四步：
从单个0元素的列开始，给0加圈，记作O,然后划去所在列的其它0元素，记为X。
重复三四，直到无法标记；
第五步：
若还存在没有画圈的0元素，则从剩余的0元素最少的行(列)开始，选0元素画圈，然后划掉同行同列的其它0元素，反复进行，直到所有0元素均被圈出或划掉为止；
检验：
若O的数目cnt=n，则该指派问题的最优解已经得到。
否则，进行调整。
| 5 | O | 2 | X | 2 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | X | X | O |
| O | 10 | 5 | 7 | 2 |
| 9 | 8 | O | X | 4 |
| X | 6 | 3 | 6 | 5 |
例子cnt = 4，少一个O
调整：找最少覆盖所有0的直线
- 对没有O的行打√
- 对已打√行中含X所在列打√
- 对已打√列中含O所在行打√
- 重复2~3, 直至没有要打√的行和列为止
- 对没有打√的行划横线, 对打√的列划竖线，得到最少覆盖所有0的直线。
- 取未划线的最小数，未划线的减去这个数，线交点处加上这个数。
返回第一步。
打√后
| 5 | O | 2 | X | 2 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | X | X | O | |
| O | 10 | 5 | 7 | 2 | √3 |
| 9 | 8 | O | X | 4 | |
| X | 6 | 3 | 6 | 5 | √1 |
| √2 |
调整6后
| 7 | 0 | 2 | 0 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 8 | 3 | 5 | 0 |
| 11 | 8 | 0 | 0 | 4 |
| 0 | 4 | 1 | 4 | 3 |
正确性初步说明：同一行或同一列减去同一个数不影响最优分配方案
程序的一点说明：实际计算中， 第五步其实不需要dfs所有情况，模拟即可。相应调整5后可以这样: 设直线数为l，若l小于n，则转调整6；若l=n，则转第五步重新试探。程序直接枚举到最好的情况了，所以省了这个判断。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 110
void Out(int a[N][N],int v[N][N],int n) {
for (int i = 1; i <= n; i++){
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if(!v[i][j]) printf("%4d",a[i][j]);
else printf(" %c",v[i][j]==1?'O':'X');
}
puts("");
}puts("End!");
}
int HZ[N],LZ[N];
struct Pair {
int x,y;
Pair(int x = 0,int y = 0):x(x),y(y){}
bool operator < (const Pair & b) const {
return HZ[this->x]==HZ[b.x] ? LZ[this->y]<LZ[b.y] : HZ[this->x]<HZ[b.x];
}
}Pt[N*N];
int FH[N],FL[N];
int Maxx,Mx;
int st[N*N],tot,used[N*N];
void dfs(int s,int t,int sum) {
if (sum > Mx) {
Mx = sum;
used[0] = tot;//记录最好方案
for (int i = 1; i <= tot; i++) used[i] = st[i];
}
if (Mx == Maxx) return;//已经找到满意解
if (t-s+1+sum <= Mx) return;//乐观估计不如目前最优解
if (s > t) return;
if (!FH[Pt[s].x] && !FL[Pt[s].y]) { //选s点
FH[Pt[s].x] = 1;
FL[Pt[s].y] = 1;
st[++tot] = s;
dfs(s+1,t,sum+1);
--tot;
FH[Pt[s].x] = 0;
FL[Pt[s].y] = 0;
}
dfs(s+1,t,sum);//不选s点
}
int calc(int b[N][N],int n) {
int a[N][N],v[N][N];
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
a[i][j] = b[i][j];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int t = a[i][1];
for (int j = 2; j <= n; j++)
if (a[i][j] < t) t = a[i][j];
for (int j = 1; j <= n; j++)
a[i][j] -= t;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int t = a[1][i];
for (int j = 2; j <= n; j++)
if (a[j][i] < t) t = a[j][i];
for (int j = 1; j <= n; j++)
a[j][i] -= t;
}
//先让每行每列都有0
//Out(a,v,n);
int H[N],L[N];
while(1) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
H[i] = L[i] = 0; //H[i]，第i行有多少个0，L为列
FH[i] = FL[i] = 0; //FH[i],第i行有没有画O
for (int j = 1; j <= n; j++) v[i][j] = 0;//v[i][j] = 1代表‘O’,-1代表‘X’
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (a[i][j] == 0) {
H[i]++; L[j]++;
}
int cnt = 0;
while (1) {
int tpcnt = cnt;
for (int i = 1; i <= n; i++) //找每行单独的0画‘O’，同列画‘X’
if (H[i] == 1) {
int t = 1;
while(a[i][t] || v[i][t]) t++;
v[i][t] = 1;
cnt++; //cnt记有几个‘O’
H[i]--; L[t]--;
FH[i] = 1; FL[t] = 1;
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (a[j][t]==0 && j!=i && v[j][t]==0) {
v[j][t] = -1;
H[j]--; L[t]--;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++) //对称的
if (L[i] == 1) {
int t = 1;
while(a[t][i] || v[t][i]) t++;
v[t][i] = 1;
cnt++;
H[t]--; L[i]--;
FH[t] = 1; FL[i] = 1;
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (a[t][j]==0 && j!=i && v[t][j]==0) {
v[t][j] = -1;
H[t]--; L[j]--;
}
}
if (tpcnt == cnt) break;
}
//Out(a,v,n);
int top = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (a[i][j]==0 && v[i][j]==0) {
Pt[++top] = Pair(i,j);
HZ[i]++;
LZ[j]++;
}
sort(Pt+1,Pt+top+1);//同行同列少的排前面
Maxx = n-cnt;
Mx = 0; used[0] = 0;
dfs(1,top,0);//对剩下的0进行试探画‘O’
cnt += Mx;
for (int i = 1; i <= used[0]; i++) {
v[Pt[used[i]].x][Pt[used[i]].y] = 1;
FH[Pt[used[i]].x] = 1;
FL[Pt[used[i]].y] = 1;
}
//Out(a,v,n);
if (cnt == n) { //已经找到
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (v[i][j] == 1) ans += b[i][j];
return ans;
}
int flagx[N],flagy[N]; //对号标记
for (int i = 1; i <= n; i++) flagx[i] = flagy[i] = 0;
int cas = 1;//时间戳，每次只检查新增对号行/列
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (!FH[i]) flagx[i] = cas;
bool chang = 1;
while (chang) {
chang = 0;
cas++;
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (flagx[i] == cas-1)
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (v[i][j] == -1) {
flagy[j] = cas;
chang = 1;
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (flagy[i] == cas-1)
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (v[j][i] == 1) {
flagx[j] = cas;
chang = 1;
}
}
int Mi = ~0u>>2;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (flagx[i] && !flagy[j] && Mi > a[i][j])
Mi = a[i][j]; //未划线找最小的
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (flagx[i] && !flagy[j]) //未划线
a[i][j] -= Mi;
else if (!flagx[i] && flagy[j]) //线交点
a[i][j] += Mi;
}
}
int main() {
int n,a[N][N],b[N][N];
scanf("%d",&n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++) {
scanf("%d",&a[i][j]);
b[i][j] = -a[i][j];
}
printf("%d
%d",calc(a,n),-calc(b,n));
return 0;
}