BZOJ5369:[PKUSC2018]最大前缀和(状压DP)

Description

小C是一个算法竞赛爱好者，有一天小C遇到了一个非常难的问题：求一个序列的最大子段和。

但是小C并不会做这个题，于是小C决定把序列随机打乱，然后取序列的最大前缀和作为答案。

小C是一个非常有自知之明的人，他知道自己的算法完全不对，所以并不关心正确率，他只关心求出的解的期望值，

现在请你帮他解决这个问题，由于答案可能非常复杂，所以你只需要输出答案乘上n!后对998244353取模的值，显然这是个整数。

注：最大前缀和的定义：i∈[1,n],Sigma(a_j)的最大值,其中1<=j<=i

Input

第一行一个正整数nnn，表示序列长度。

第二行n个数，表示原序列a[1..n]，第i个数表示a[i]。

1≤n≤20,Sigma(|Ai|)<=10^9,其中1<=i<=N

Output

输出一个非负整数，表示答案。

Sample Input

2
-1 2

Sample Output

3

Solution

首先对于一个序列$[a_1,a_n]$，设最大前缀和的位置为$p$，那么序列$[a_{p+1},a_n]$的任意一个前缀必须都$<=0$。否则的话你用最大前缀和随便加上$[a_{p+1},a_n]$中$>0$的一个前缀就可以得到新的最大前缀和。

预处理：

$sum[S]$表示集合$S$的数字和。

$f[S]$表示钦定集合$S$当最大前缀的合法方案数。

$g[S]$表示集合$S$任意前缀和$<=0$小于$0$的方案数。

那么显然$ans=sum sum[S] imes f[S] imes g[S']$。其中$S'$是$S$的补集。

$sum$和$g$都是可以直接求的，那么$f$呢？

可以发现，如果$sum[S]>0$，那么把随便一个数放到这个集合$S$的最前面，这个最大前缀和仍然是可以保证合法的。

$ans$最后忘了取模$WA$了好几发……心态崩了

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N (21)
#define MOD (998244353)
using namespace std;

int n,m,a[N],sum[1<<N],cnt[1<<N],f[1<<N],g[1<<N];

int main()
{
    scanf("%d",&n); m=(1<<n)-1;
    for (int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d",&a[i]);
    for (int i=1; i<=n; ++i)
        for (int S=0; S<=m; ++S)
            if (S&(1<<i-1)) sum[S]+=a[i], cnt[S]++;
            
    for (int S=1; S<=m; ++S)
    {
        if (cnt[S]==1) {f[S]=1; continue;}
        for (int i=1; i<=n; ++i)
            if ((S&(1<<i-1)) && sum[S]-a[i]>0)
                (f[S]+=f[S^(1<<i-1)])%=MOD;
    }
    
    g[0]=1;
    for (int S=1; S<=m; ++S)
    {
        if (sum[S]>0) {g[S]=0; continue;}
        if (cnt[S]==1) {g[S]=1; continue;}
        for (int i=1; i<=n; ++i)
            if (S&(1<<i-1))
                (g[S]+=g[S^(1<<i-1)])%=MOD;
    }
    int ans=0;
    for (int S=1; S<=m; ++S)
        (ans+=1ll*sum[S]*f[S]%MOD*g[m^S]%MOD)%=MOD;
    ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;
    printf("%d
",ans);
}