异常检测(Anomaly Detection)
基本假设：多数情况下数据点落入正常的取值范围，但是当异常行为发生时，数据点的取值落入正常取值范围之外（如图1所示）。所以可以利用高斯分布，计算行为发生的概率，如果是概率小于给定阈值，则认为发生了异常行为。基本过程是利用训练数据点建立模型$p(x)$，对于新的数据点$x_{new}$, 如果$p(x_{new})<epsilon$则发生异常；否则正常。异常检测的应用包括：
- 欺诈检测(Fraud detection)
- 制造业(Manufacturing)
- 数据中心监视电脑(Monitering computers in data center)
图1 异常行为（Outlier Point）发生示例
高斯分布
对于一元高斯分布$x sim N(mu, sigma^2)$，表达式如下，其中$mu$表示均值，对应于分布的对称轴；$sigma$表示数据点的离散程度，$sigma$越大函数图像的下端张口越大峰值越低；反之$sigma$越小，图像下端张口越小，峰值越高，如图2所示。
$$p(x;mu, sigma^2)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}exp(-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2})$$
图2 不同参数($mu, sigma$)取值下的一元高斯分布
参数估计
高斯分布的总体参数$mu$和$sigma$可以使用样本数据点进行估计，如下
$$mu = frac{1}{m}sumlimits_{i=1}^{m}x^{(i)}$$
$$sigma^2=frac{1}{m}sumlimits_{i=1}^{m}(x^{(i)}-mu)^2$$
注意在统计学中，参数$sigma^2$的系数为$frac{1}{m-1}$而在机器学习中习惯使用$frac{1}{m}$.
异常检测算法
对于训练数据集${x^{(1)}, x^{(2)}, ldots, x^{(m)}}$，其中数据点$x^{(i)}in R^n$并假设每个特征均服从高斯分布，即$x^{(i)}_j sim N(mu, sigma^2)$，可如下建立模型$p(x)$
egin{align*}p(x)&=p(x_1; mu_1, sigma_1^2)p(x_2; mu_2, sigma_2^2)ldots p(x_n; mu_n, sigma_n^2) \ &= prodlimits_{j=1}^n p(x_j; mu_j, sigma_j^2)end{align*}
算法步骤：
1. 特征选择：选择能够指示异常行为的特征
2. 参数估计：用训练数据集估计每个特征的整体均值$mu_j$和方差$sigma_j^2$，即$mu_j = frac{1}{m}sumlimits_{i=1}^{m}x^{(i)}_j$, $sigma^2_j=frac{1}{m}sumlimits_{i=1}^{m}(x^{(i)}_j-mu_j)^2$
3. 用估计得到的参数$mu_1, mu_2, ldots, mu_n$, $sigma^2_1, sigma^2_2, ldots, sigma^2_n$建立模型$p(x)$；
4. 对于给定新的数据点$x_{new}$, 计算$p(x_{new})$；如果$p(x_{new})<epsilon$则发生异常，否则正常。
算法评估:
给定训练数据集(去掉标签建立模型)中${x^{(1)}, x^{(2)}, ldots, x^{(m)}}$，训练模型$p(x)$。在交叉验证集(带标签)中，如果$p(x_{cv})<epsilon$，则预测$y=1$；否则预测$y=0$。最后计算指标Precision/Recall/F1Score等来评估算法性能。注意：也可以用验证集来选择阈值$epsilon$.
异常检测与监督式学习对比：
特征选择：
选择的特征需要近似服从于高斯分布，如果明显不服从高斯分布，可以做适当的转换，例如$log(x), log(x+c), sqrt{x}, x^{1/3}$等
多元高斯分布
之前的模型假设各个特征之间是相互独立的，因此模型$p(x)$将各特征取值的概率相乘【$P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)$，当且仅当事件AB相互独立时才有$P(AB)=P(A)P(B)$】；然而当各个特征之间存在依赖关系时，一元的高斯模型将不能很好的刻画$p(x)$，需要多元高斯模型。模型$p(x)$的建立不再是各个概率相乘，而直接用多元高斯分布进行刻画$$p(x;mu, Sigma)=frac{1}{(2pi)^{n/2}|Sigma|^{1/2}}expleft(-frac{1}{2}(x-mu)^TSigma^{-1}(x-mu) ight)$$ 其中$mu$是$n$维行向量，$mu=frac{1}{m}sumlimits_{i=1}^{m}x^{(i)}$； $Sigma$是$n imes n$协方差矩阵，$Sigma=frac{1}{m}sumlimits_{i=1}^{m}(x^{(i)}-mu)(x^{(i)}-mu)^T$，图3给出了在不同参数取值下的二维高斯模型及其对应的等高线图。
图3 二维高斯分布及其对应的等高线图
多元高斯模型和一元高斯模型的关系：当协方差矩阵$Sigma$是对角阵且对角线元为一元高斯分布的估计参数$sigma_j^2$时，两个模型是等价的。区别在于前者能够自动获取特征之间的依赖关系而后者不能(后者假设特征之间是独立的)。当特征数$n$很大时，前者计算代价高昂而后者计算速度快。前者适用于$m>n$(一般要求$m>10n$)的情况，而后者当$m$很小时依然适用。
推荐系统
电影推荐系统问题：根据用户对已看过电影的打分，对用户未看过的电影(下表中以?表示)进行打分估计，以给其推荐合适的电影。
符号说明：
- $n_u$表示用户数量
- $n_m$表示电影数量
- $r(i, j)$是符号变量，如果用户$j$已经对电影$i$进行评分则$r(i, j)=1$；反之，如果用户$j$尚未对电影$i$进行评分则$r(i, j)=0$.
- $y^{(i, j)}$表示用户$j$对电影$i$的评分（如果用户$j$对电影$i$已经评分，即$r(i, j)=1$）.
| Movie | User1 | User2 | User3 | User4 | x1 | x2 |
| movie1 | 5 | 5 | 0 | 0 | 0.9 | 0 |
| movie2 | 5 | ? | ? | 0 | 1.0 | 0.01 |
| movie3 | ? | 4 | 0 | ? | 0.99 | 0 |
| movie4 | 0 | 0 | 5 | 4 | 0.1 | 1.0 |
| movie5 | 0 | 0 | 5 | ? | 0 | 0.9 |
基于内容的推荐
对每一部电影$i$抽出若干特征，然后每个用户$j$学习一个参数向量$ heta^{(j)}$，然后用$( heta^{(j)})^Tx^{(i)}$来估计用户$j$对电影$i$的评分。例如对于上面的表格，我们对每一个电影抽取出2个特征$x_1,x_2$(对应表格最后2列)，然后每个用户$j$学习一个参数向量$ heta^{(j)}in R^3$（包含bias项$ heta_0=1$以及$x_1, x_2$的系数$ heta_1, heta_2$）,然后就可以用$( heta^{(j)})^Tx^{(i)}$来预测评分。为了学习参数$ heta$，定义代价函数为$$J( heta^{(1)}, heta^{(2)},ldots, heta^{(n_u)})=frac{1}{2}sumlimits_{j=1}^{n_u}sumlimits_{i:r(i,j)=1}(( heta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2+frac{lambda}{2}sumlimits_{j=1}^{n_u}sumlimits_{k=1}^n( heta^{(j)}_k)^2$$
梯度下降法的参数更新：$$ heta_k^{(j)}= heta_k^{(j)}-alphaleft(sumlimits_{i:r(i,j)=1}(( heta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})x_k^{(i)}+lambda heta_k^{(j)} ight)quad k > 0$$ $$ heta_k^{(j)}= heta_k^{(j)}-alphasumlimits_{i:r(i,j)=1}(( heta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})x_k^{(i)}quad k = 0$$
协同过滤(Collaborative Filtering)
基于内容的推荐假设电影的特征(如$x_1$, $x_2$)是已知的，仅需要学习参数$ heta$；然而实际中电影的特征是未知的，现在假定已知用户的参数$ heta$，需要学习电影的特征$x$，与上面的代价函数类似，定义$$J(x^{(1)},x^{(2)},ldots,x^{(n_m)})=frac{1}{2}sumlimits_{i=1}^{n_m}sumlimits_{i:r(i,j)=1}(( heta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2+frac{lambda}{2}sumlimits_{i=1}^{n_m}sumlimits_{k=1}^n(x^{(i)}_k)^2$$这样我们发现，给定电影特征$x$可以学习到用户参数$ heta$；反之给定用户参数$ heta$可以学习到特征$x$。因此可以先随机猜一个$ heta$，然后学习$x$，再由学习到的$x$学习$ heta$，然后不断重复即可。然而事实上，两个参数$x, heta$可以如下同时更新，从而得到协同过滤的推荐算法$$J(x^{(1)},x^{(2)},ldots,x^{(n_m)}, heta^{(1)}, heta^{(2)},ldots, heta^{(n_u)})=frac{1}{2}sumlimits_{i:r(i,j)=1}(( heta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2+frac{lambda}{2}sumlimits_{j=1}^{n_u}sumlimits_{k=1}^n( heta^{(j)}_k)^2+frac{lambda}{2}sumlimits_{i=1}^{n_m}sumlimits_{k=1}^n(x^{(i)}_k)^2$$
协同过滤算法步骤:
1. 初始化参数$x^{(1)},x^{(2)},ldots,x^{(n_m)}, heta^{(1)}, heta^{(2)},ldots, heta^{(n_u)}$为随机数，其中$xin R^n$表示电影特征，$ heta in R^n$表示用户参数（注：不包含bias参数$ heta_0$）
2. 使用梯度下降或者其他高级优化算法，进行参数更新
$$x_k^{(i)}=x_k^{(i)}-alphaleft(sumlimits_{i:r(i,j)=1}(( heta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})x_k^{(i)}+lambda x_k^{(i)}
ight)$$
$$ heta_k^{(j)}= heta_k^{(j)}-alphaleft(sumlimits_{i:r(i,j)=1}(( heta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})x_k^{(i)}+lambda heta_k^{(j)}
ight)$$
3. 用学习到的参数$ heta$和$x$预测电影评分$ heta^Tx$
低秩矩阵分解(Low rank matrix factorization)
协同过滤与低秩矩阵分解：协同过滤算法要求评分矩阵$Y$中元素$y^{(i,j)}$越接近$( heta^{(j)})^T x^{(i)}$越好，因此参数$ heta$和$x$的求解，实际上等价于寻找两个矩阵$X$和$Theta$使得$Y approx XTheta^T$，从而协同过滤问题可以转化为低秩矩阵分解问题。
均值归一化：对于尚未评分任何电影的用户，可以对$Y$矩阵按行求平均值作为该用户的初始评分；用均值化矩阵$Y-mu$进行参数学习，然后用$( heta^{(j)})^T heta^{(i)}+mu_i$进行评分预测。
参考文献
[1] Andrew Ng Coursera 公开课第九周
[2] Recommender Systems: Collaborative Filtering. http://recommender-systems.org/collaborative-filtering/
[3] Wikipedia: Low-rank approximation https://en.wikipedia.org/wiki/Low-rank_approximation