有一维数组 [x1,x2...xn]，要求一个值X，使得：
F(X) = (X-x1)2+(X-x2)2+...(X-xn)2 = min
F(X) = nX2 - 2 * (x1+x2+....+xn) + x12 + x22 + ...+xn2 = min
对X求导，当dF/dX = 0时，F(X)有极小值；
2nX - 2 (x1+x2+....+xn) = 0
那么，X = (x1+x2+....+xn) / n
因此，在一维的情况下，最小二乘求参数X，和求均值一样；
使用矩阵的方法，先建立方程组：
X - x1 = 0
...
X - xn = 0
也就是方程组：
An*1X =b，等价于 [1,1,......] T X = [x1,x2...xn] T;
ATAX = ATb
同样解得：X = (x1+x2+....+xn) / n
应用：在一维中，有[2,2,2,2,2,10]这样子的数组，找出其中的孤值
先求出 X = 均值 = 3.333
中误差 = sqrt [ [(2-3.333)2 + (2-3.333)2 + (2-3.333)2 + (2-3.333)2 + (2-3.333)2 + (10-3.333)2 ] / (6-1) ] = 3.1622
假如一维数组是对一段距离的观测值，假设服从正态分布N[ μ，σ2] , u应该是接近2的数字，但实际上是不可知道的，样本量大时，通常用X和中误差来代替
|xn - u| > 2σ 的概率，为 1 - 95.449974%；
|xn - u| > 3σ 的概率，为 1 - 99.730020%；
所以，基于这个原理，|10 - 3.3333 | ≈ 2σ ，是属于小概率事件，所以认为10是孤值；
加权最小二乘法；
假如，为上面每个数字，求加权平均值，假如权值分别为[p1,p2....pn]，假如为[1,1,1,1,1,1/5]
加权并不是：X =（ 2+ 2 + 2 + 2 +2 + 1 / 5 * 10 ）/ 6 = 2；
而是F(X) = p1(X-x1)2+p2(X-x2)2+...p3(X-xn)2 = min
F'(X) = 2 (p1 + p2 + ... pn) - 2 (p1x1 + p2x2 + ... + pnXn)
因此X = (p1x1 + p2x2 + ... + pnXn) / (p1 + p2 +...+pn) = 12 / 5.2 = 2.3
如同解 ATPAX = ATPb
p越大，说明对某个观测值越信赖，对其误差也越信赖；
关于误差传播
假如x经过n次读数，其中误差 = Σ(xi - xavg)² / n，用矩阵的形式，就是Dxx = [x1-xavg ，x2-xavg，... xn-xavg] [x1-xavg ，x2-xavg，... xn-xavg] T / n
* 定义函数E(x)为求x的均值，那么Dxx = E[ [x1-xavg ，x2-xavg，... xn-xavg] [x1-xavg ，x2-xavg，... xn-xavg] T]
假如 y = ax，那么，其中误差 = Σ(axi - axavg)² / n = a2 ， 就是Dyy = a2 Dxx
因此，在一元的情况下 y = ax，y的方差D(Y) = a2 Dxx
多元的情况下：
z = ax - by ，用矩阵的形式表示，那么 Z = [a,b][x,y]T = KX
E(Z) = KE(X)
证明：
E(X) = [E(x),E(y)]T
E(Z) = ∑z / n = a * ∑x / n + b∑y / n = aE(x) + bE(y) = K[E(x),E(y)]T = KE(X)
D(Z) = E ( [Z-E(Z)] [Z-E(Z)]T)
= E ( [KX - KE(X)] [ KX - KE(X)]T)
= E ( K[X - E(X)] [ X - E(X)]T KT) (KA)T = ATKT
= KE ( [X - E(X)] [ X - E(X)]T ) KT
Dxx = E ( [X - E(X)] [ X - E(X)]T ) = [x-xavg ，y-yavg ] T [x-xavg ，y-yavg ] / n
X = [x,y]T , E(X) = [E(x),E(y)]T
因此，Dxx 对角 (x-E(x))(x-E(x))T / n，为x的方差； (y-E(y))(y-E(y))T / n 为y的方差；
非对角 (x-E(x))(y-E(y))T / n ，为x和y的协方差；
协方差的本质，是形容X的曲线，和Y的曲线的相似程度，其横轴均为样本序列
在实际解算的时候，如果两种观测量（x和y）是完全不相关的，例如： x代表测角、y代表测距 ，即使(x-E(x))(y-E(y))T / n ≠ 0，在Dxx的非对角处，任然写为0值；
因此求Dzz要追根朔源
假如有：
z1 = a1x + b1y
z2 = a2x + b2y
z1和z2如何才是独立观测量，完全不相关？
等价于Dzz，非对角线元素为0
隐含条件：
1. a1、b1不能同时为0 ，否则相当于Z1没有意义；
2. a2、b2不能同时为0 ，否则相当于Z2没有意义；
3. σxx 和 σyy 均不能等于0，否则解算没有意义，因为没有误差传递；
那么，要使得非对角线为0，那么：
1. a1 = 0 ，b2 = 0, σxy = 0；
1. b1 = 0 ，a2 = 0, σxy = 0；
没有别的选择；
因此，x、y必须是独立观测的，不相关的观测量，而且，Z的方程组，每条方程的自变量均不相同，要么：
z1 = a1x
z2 = b2y
或者
z1 = b1y
z2 = a2x