1、UVALive 5028/HDU 3723 Delta Wave
题意：在x-y平面直角坐标系中，每一步都只能从(x0, y0)走到(x0+1, y0)或(x0+1, y0-1)或(x0+1, y0+1)，且每一步只能走在第一象限或者x轴正版轴上。给定N，问从点(0, 0)走到(N, 0)共有多少种走法，输出走法数量mod 10^100。2 < N <= 10^4，20 test case。
解法：就相当于找有多少个这样的数列，全部由0，1，-1组成，且1和-1的数量相同，且S[i]表示前i项和，对于任意的i有S[i] >= 0。枚举1的数量，则0，-1也知道了。枚举0的位置，给1和-1安排位置就是一个卡特兰数。所以枚举i = 0 to n/2，ans += C(n, 2*i) * catalan(i)。而且这个等式是可以用递推求得的。
下面证明，给m个1和m个-1安排位置就是一个卡特兰数。转化问题，求给2*m个球染红蓝两色的方法种数f(m)，设对第i个球它之前(包括它自己)红球数量为x[i]，蓝球数量为y[i]，要求对任意的i都有x[i] >= y[i]。
分析该问题，首先，第一个球肯定为红色。第二个球有两种情况：若为蓝球，则f(m) += f(m-1)；否则为红球，i不断增大，设当x[i]-1 = y[i]时，x[i] = t，所以f(m) += f(t-1) * f(m-t)。所以是catalan数。
tag:math, counting, catalan, good
由于要用到大数，我没有写代码。