概述
堆是一颗完全二叉树。分为大根堆（父节点>=所有的子节点）和小根堆（父节点<=所有的子节点）。
插入、删除堆顶都是O(logN)，查询最值是O(1)。
完全二叉树(Complete Binary Tree)
若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。
完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有N个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。
若一棵二叉树至多只有最下面的两层上的结点的度数可以小于2，并且最下层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上，则此二叉树成为完全二叉树。
完全二叉树的特性：对于结点t，t/2为它的父节点，2*t、2*t+1为它的子节点。所以可以直接用一个线性的数组存放堆。
堆的基本操作：（以小根堆为例）
1.堆元素上移：和自己的父节点比较，若满足条件则交换。再次比较。
void up(int x) { int p,q; p=x; while (p/2>=1) { q=p/2; if (a[q]>a[p]) swap(&a[p],&a[q]); else break; p=q; } }
2.堆元素下移：和自己的子节点中更满足条件（更大or更小）的一个比较，若满足条件则交换。再次比较。
void down(int x) { int p,q; p=x; while (p*2<=n) { q=2*p; if ((a[q+1]<a[q])&&(q+1<=n)) q++; if (a[q]<a[p]) swap(&a[q],&a[p]); else break; p=q; } }
3.建堆：
cin>>n; for (i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]; for (i=n/2;i>=1;i--) //1 down(i);
注：对1处语句的解释： 1. a[(n/2)+1]----a[n]的元素都是堆上的叶子节点，无需down(i)操作。 2. 倒序循环是因为，对于一个节点i，只有等它的子节点都完成了down操作之后，才可以对它进行操作。即保证循环到i时，i+1、i+2、…..、n都是一个最大最小堆的根。
4.删除元素（删除堆顶的最值元素）
用堆最末端（二叉树的最右下角）的元素替换堆顶元素，n--，然后对其进行down(i)操作
5.添加元素
将元素添加到堆的最末端（二叉树的最右下角），n++，然后对其进行up(i)操作
6. 删除任意一个点（事先要保证堆中没有重复元素）
首先在堆中找到该元素的位置（可以提前用hashmap记录）
用堆最末端（二叉树的最右下角）的元素替换要删除的元素，n--。然后对其进行up(i)或者down(i)操作，根据元素的大小而定。
注意：一个已从小到大排好序的数组是一个小根堆，但一个小根堆数组里面的元素不一定排好序 (source:算法导论P153 Exercise6.1-5、6.1-6)
题目
https://www.jiuzhang.com/solution/heapify/
基于 Siftup 的版本 O(NlogN)
public class Solution { /** * @param A: Given an integer array * @return: void */ private void siftup(int[] A, int k) { while (k != 0) { int father = (k - 1) / 2; if (A[k] > A[father]) { break; } int temp = A[k]; A[k] = A[father]; A[father] = temp; k = father; } } public void heapify(int[] A) { for (int i = 0; i < A.length; i++) { siftup(A, i); } } }
算法思路：
对于每个元素A[i]，比较A[i]和它的父亲结点的大小，如果小于父亲结点，则与父亲结点交换。
交换后再和新的父亲比较，重复上述操作，直至该点的值大于父亲。
时间复杂度分析
对于每个元素都要遍历一遍，这部分是 O(n)。
每处理一个元素时，最多需要向根部方向交换 logn 次。
因此总的时间复杂度是 O(nlogn)
基于 Siftdown 的版本 O(N)
public class Solution { /** * @param A: Given an integer array * @return: void */ private void siftdown(int[] A, int k) { while (k * 2 + 1 < A.length) { int son = k * 2 + 1; // A[i] 的左儿子下标。 if (k * 2 + 2 < A.length && A[son] > A[k * 2 + 2]) son = k * 2 + 2; // 选择两个儿子中较小的。 if (A[son] >= A[k]) break; int temp = A[son]; A[son] = A[k]; A[k] = temp; k = son; } } public void heapify(int[] A) { for (int i = (A.length - 1) / 2; i >= 0; i--) { siftdown(A, i); } } }
算法思路：
初始选择最接近叶子的一个父结点，与其两个儿子中较小的一个比较，若大于儿子，则与儿子交换。
交换后再与新的儿子比较并交换，直至没有儿子。
再选择较浅深度的父亲结点，重复上述步骤。
时间复杂度分析
这个版本的算法，乍一看也是 O(nlogn)， 但是我们仔细分析一下，算法从第 n/2 个数开始，倒过来进行 siftdown。也就是说，相当于从 heap 的倒数第二层开始进行 siftdown 操作，倒数第二层的节点大约有 n/4 个， 这 n/4 个数，最多 siftdown 1次就到底了，所以这一层的时间复杂度耗费是 O(n/4)，然后倒数第三层差不多 n/8 个点，最多 siftdown 2次就到底了。所以这里的耗费是 O(n/8 * 2), 倒数第4层是 O(n/16 * 3)，倒数第5层是 O(n/32 * 4) ... 因此累加所有的时间复杂度耗费为：
T(n) = O(n/4) + O(n/8 * 2) + O(n/16 * 3) ...
然后我们用 2T - T 得到：
2 * T(n) = O(n/2) + O(n/4 * 2) + O(n/8 * 3) + O(n/16 * 4) ...
T(n) = O(n/4) + O(n/8 * 2) + O(n/16 * 3) ...
2 * T(n) - T(n) = O(n/2) +O (n/4) + O(n/8) + ...
= O(n/2 + n/4 + n/8 + ... )
= O(n)
因此得到 T(n) = 2 * T(n) - T(n) = O(n)
堆的应用：
- 堆排序
原理：对输入数据建堆，然后每次输出堆顶元素，然后删除堆顶元素。循环n次即可输出完排序好的n个数。
从小到大排序选小根堆，从大到小排序选大根堆。
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 int a[1000]; 4 int n,i,tx; 5 6 void swap(int *a,int *b) 7 { 8 int tmp; 9 tmp=*a; 10 *a=*b; 11 *b=tmp; 12 } 13 14 void down(int x) 15 { 16 int p,q; 17 p=x; 18 while (p*2<=n) 19 { 20 q=2*p; 21 if ((a[q+1]<a[q])&&(q+1<=n)) q++; 22 if (a[q]<a[p]) 23 swap(&a[q],&a[p]); 24 else 25 break; 26 p=q; 27 } 28 } 29 30 int main() 31 { 32 cin>>n; 33 for (i=1;i<=n;i++) 34 cin>>a[i]; 35 36 for (i=n/2;i>=1;i--) 37 down(i); 38 39 tx=n; 40 for (i=1;i<=tx;i++) 41 { 42 cout<<a[1]<<" "; 43 a[1]=a[n]; 44 n--; 45 down(1); 46 } 47 cout<<endl; 48 }
补充：STL里的堆操作
首先，需要#include <algorithm>
STL里支持4种堆操作：
void make_heap(start_pointer，end_pointer，comp)
在指定范围的数组上建堆
void pop_heap(start_pointer，end_pointer，comp)
删除堆顶元素，然后重建堆
void push_heap(start_pointer，end_pointer，comp)
假设数组区间a[start]……a[end-1]已经是一个堆，然后将a[end]作为要入堆的新元素加进去，使得a[start]……a[end]是一个堆
void sort_heap(start_pointer，end_pointer，comp)
假设数组区间a[start]……a[end-1]已经是一个堆，然后对其中的序列进行排序（排序后就不是一个有效堆了>_<）
注释：start_pointer、end_pointer分别表示起始位置、终止位置的指针
（调用方法示例：make_heap(&number[0],&number[12],cmp); ）
cmp为比较函数（若不指定，默认建大根堆）
Sample from MSDN_1996：
Program Output is:（大根堆）
Original array:
Numbers { 4 10 70 10 30 69 96 100 }
After calling make_heap
Numbers { 100 30 96 10 4 69 70 10 }
After calling sort_heap
Numbers { 4 10 10 30 69 70 96 100 }
After calling push_heap and make_heap: (事先加入了一个新元素7)
Numbers { 100 69 96 30 4 70 10 10 7 }
After calling pop_heap
Numbers { 96 69 70 30 4 7 10 10 100 } (此时100已不再属于堆)
1 #include <iostream> 2 #include <algorithm> 3 using namespace std; 4 5 bool comp(int a,int b) //用于建小根堆的比较函数 6 { 7 return a>b; 8 } 9 10 int main() 11 { 12 int i; 13 int a[10]={0,30,96,10,4,69,70,10,100}; 14 //a[1..8] 15 for (i=1;i<=8;i++) 16 cout<<a[i]<<" "; 17 cout<<endl; 18 //输出原数组：30 96 10 4 69 70 10 100 19 make_heap(&a[1],&a[9]); //注意：必须多留一个空，我也不知道为什么… >_< 20 for (i=1;i<=8;i++) //比如说，对a[1…8]操作就得写成(&a[1],&a[9]) 21 cout<<a[i]<<" "; //我知道为什么啦：^_^ 22 cout<<endl; //在C语言中，数组a[1..8]这一区段的开头是a[1]，但结尾是a[9] 23 //而STL中要求调用的就是数组开头和结尾，所以要多一位。 24 //比如说有long a[1000]，那么数组区段其实是a[0..999] 25 //(因为C是从0开始计),而数组结尾就是a[1000]，尽管a[1000]实际上无意义。 26 //输出大根堆[1..8]：100 96 70 30 69 10 10 4 27 make_heap(&a[1],&a[9],comp); 28 for (i=1;i<=8;i++) 29 cout<<a[i]<<" "; 30 cout<<endl; 31 //输出小根堆[1..8]：4 30 10 96 9 10 70 100 32 a[9]=8; 33 push_heap(&a[1],&a[10],comp); 34 for (i=1;i<=9;i++) 35 cout<<a[i]<<" "; 36 cout<<endl; 37 //a[1..9] 38 //插入一个元素8，然后输出小根堆[1..9]：4 8 10 30 69 10 70 100 96 39 pop_heap(&a[1],&a[10],comp); 40 for (i=1;i<=9;i++) 41 cout<<a[i]<<" "; 42 cout<<endl; 43 //a[1..8] 44 //删除堆顶元素4，然后输出小根堆[1..8]：8 30 10 96 69 10 70 100 4 45 //(4在堆外，已经不是堆里面的元素了) 46 }
总结：堆相关题目的核心算法
Solution：根据要求建堆，然后取堆顶作为答案输出，然后由堆顶下一步扩展出新元素再次入堆
题目：
POJ2442
采用以下算法都可以实现在m个数中取前n小的数：
快速排序：最慢 手写堆：快 用STL堆：目测还能再快一点
另外注意一个问题：过大的数组也会影响运行速度
渣渣表示这种水题竟然写了三种版本才过….. >_<
Ver1.0:用快排，最好想的算法
本来算法就不快，空间复杂度O(n*n)又太大，也影响速度。
设目前已经处理到了第i列，那么将第i列中的元素与第i+1列中的元素分别相加，得到了n*n个元素。将这些元素记录到一个数组中，快排取前n小的n个数，并记录到数组heap[1..n]中。再用heap数组中的元素与第i+2列操作，……直到处理完m列输出heap数组即可。
这么渣渣的算法当然TLE啦……→_→
Ver2.0:用手动堆
参考http://blog.csdn.net/c0de4fun/article/details/7312831
算法快了不少，空间复杂度也降到了O(n)
不过我写的貌似有问题……WA了
Ver3.0:直接用STL堆操作
STL支持四种堆操作：新元素入堆、弹出堆顶、建堆、排序。(见 堆及其应用.docx)
首先还和刚才一样，把第一行排序后记录到a[1..n]数组中，第二行排序后记录到b[1..n]数组中。
然后，为了节省空间，我们不能再简单的将a[1..n]、b[1..n]分别相加了，而是这样：
因为b[1]一定是b[1..n]里最小的，所以先将a[1..n]+b[1]得到的这n个元素加入一个大根堆heap。然后再a[1..n]+b[2..n]分别相加，而对于这n(n-1)个元素，判断如果a[k]*b[j]小于堆顶元素heap[1]，则弹出堆顶，然后将a[k]*b[j]加入堆。处理完这一行之后将heap中的n个元素从小到大记录到数组a中，再将下一行读入b[1..n]中。以此类推，直到m行处理完。
AC！^_^
POJ2051
一次AC！ ^_^
题真心不难。
首先将所有的进程读入，记录period[i]为Q_num为i的进程的周期，tm[i]为Q_num为i的进程已经运行过的次数（初始都为1）。
构造一个小根堆记录进程heap[i]=period[j]*tm[j]。一开始将所有的进程都入堆。然后取堆顶元素输出，并将堆顶元素的tm[j]++，之后再将period[j]*tm[j]再次入堆并调整。这样输出k次即可。
注意：如果在堆的调整中需要比较多个关键字(比如本题中Q_num和发生时间都是关键字)，那么STL就不能用了，只能手写T^T……方法类比双关键字快速排序即可
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