由浅入深讲解动态规划

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动态规划是一种常用的算法思想，很多朋友觉得不好理解，其实不然，如果掌握了他的核心思想，并且多多练习还是可以掌握的。下面我们由深入浅地来讲讲动态规划。

斐波那契数列

首先我们来看看斐波那契数列，这是一个大家都很熟悉得数列：

// f = [1, 1, 2, 3, 5, 8]
f(1) = 1;
f(2) = 1;
f(n) = f(n-1) + f(n-2)

递归版斐波那契数列

有了上面得公式，我们很容易写出计算f(n)得递归代码：

现在我们考虑一下上面得计算过程，计算f(5)的时候需要f(4)和f(3)的值，而计算f(4)的时候需要f(3)和f(2)的值，这里f(3)就重复算了两遍。在我们已知f(1)和f(2)的情况下，我们其实只需要计算f(3)，f(4)，f(5)三次计算就行了，但是为了计算f(5)，我们总共计算了8次其他的值，里面f(3)，f(2)，f(1)都有重复的多次计算。如果n不是5，而是一个更大的数，计算次数更是指数级增长，这个递归算法的时间复杂度是O(2ⁿ)。

带记忆的递归的斐波那契数列

非递归的斐波那契数列

为了解决上面指数级的时间复杂度，我们不能用递归算法了，而要用一个普通的循环。

钢条切割问题

某公司出售钢条，出售价格与钢条的长度之间的关系如下图

长度i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
价格pi	1	5	8	9	10	17	17	20	24	30
问题：现有一段长度为n的钢条和上面的价格表，求切割钢条的方案，使得总收益最大。

递归方案

以长度为5的钢条为例，假设只切一刀，情况有4种，

• [1, 4]
• [2, 3]
• [3, 2]
• [4, 1]
  分成了左右两部分，两部分又分别可以继续切，而每部分一切，又变成了两部分，又可以继续切。
  写成公式为：r_n = max(p_n, r₁+r_n-1, r₂+r_n-2, ... , r_n-1+r₁)
• r_n: 表示求解的目标
• p_n: 表示一刀也不切
• r₁ + r_n-1: 表示左边为1， 右边为n-1长度的两端。
  

动态规划

最长公共子序列的长度

一个序列的子序列是在该序列中删除若干元素后得到的序列，如ABCD和BDF都是ABCDEFG的子序列，不考虑连续。

递归方案

动态规划