群论初探

简单群论^[1][2]

群

定义

群(G)是一个定义在二元组((S,cdot))的代数结构。其中(S)是一个集合，(·)是一个二元运算符。

(G)所含元素的个数称为群(G)的阶，记为(|G|)。一般的，称阶为(+infty)的群为无限群，否则称为有限群（定义同样适用于集合）。

在群(G)中，(ain G)。若存在最小正整数(k)使得(a^k=e)，则称(k)为(a)的阶，记为(|a|=k)；否则称(a)的阶是无限的，记为(|a|=+infty)。

群论中，集合或群中的一个元素也被称为一个点。提醒，你可能会在下文看到“由元素组成的群”等不严谨的说法，请不要纠结。

判定与性质

满足下列条件的二元组(G=(S,cdot))可以称为群：

1. 封闭性： (forall x,yin S,xcdot yin S)；

2. 结合律：(forall x,y,zin S,(xcdot y)cdot z=xcdot(ycdot z))；

3. 单位元：(exists ein S,forall xin S,ecdot x=xcdot e=x)；

   当(G)为加法群是，其单位元称为零元，记作(0)。

4. 逆元：(forall xin S,exists yin S,xcdot y=ycdot x=e)；

   在式(xcdot y=e)中，称(x)为(y)的左逆元，(y)为(x)的右逆元。当(G)为加法群时，(a)的逆元也称作负元，并记为(-a)。

   结论：在群中，左逆元(=)右逆元。

   证明：

   1. (forall xin G,exists ain G,acdot x=e)。(a)为(x)的左逆元。
   2. (exists bin G,bcdot a=e)。

   由1、2，(xcdot a=(bcdot a)cdot (xcdot a)=bcdot (acdot x)cdot a=bcdot a=e)，即(a)也是(x)的右逆元。得证。

消去律： (x=y)与(xcdot a=ycdot a)互为充要条件，(x,y,ain G)。

结论：当(S)为有限集，在具有封闭性、结合律、单位元的二元组((S,cdot))里，逆元存在(Leftrightarrow)消去律存在。

证明：

1. 逆元存在(Rightarrow)消去律存在

   结合消去律定义与(acdot a^{-1}=e)可证。

2. 消去律存在(Rightarrow)逆元存在

   对于(forall ain S)，建立新二元组((S'={xcdot a|xin S},cdot))。根据封闭性，(S'in S)。

   又(S)存在消去律，考虑集合的互异性，不会存在(x,y)使得(x=y)；同样的(S')中不会存在值为(xcdot a) 的两个相同元素即(|S|=|S'|)。

   由以上两点可知(S=S')。因为(ein S)，所以(ein S')。换而言之(exists tin S)使得(tcdot a=e)。即(S)中有(a)的逆元。结论得证。

注意，上述结论用于无限集合中时，只有消去律是逆元的必要条件。

置换群

置换、循环与对换

有限集合到自身的一一映射称为一个置换，记为置换(f)。

置换的不动点值满足(f(x)=x)的“点”（即状态）。

结论： 有限集(S)的所有置换个数为(|S|!)。

当(n)相等时，置换可以相互运算，并称之为置换的连接。置换的连接满足结合律，但不满足交换律。称(I=f^0)为全等置换。

记一个(n)阶循环((a_1,a_2,cdots,a_n)=egin{pmatrix}a_1,a_2,cdots,a_n\a_2,a_3,cdots,a_1end{pmatrix})。循环也称为轮换。

两个循环((a_1,a_2,cdots,a_n))、((b_1,b_2,cdots,b_m))不相交是指对与(a_i;(iin[1,n]))，( exists b_j,;(jin[1,m]))使得(a_i=b_j)。

1. 任意一个置换可以表示为若干个互不相交的循环的乘积。

   证明：将一个置换看作包含(n)的入度、出度都为(1)的有向图，可以发现这个图必然是有若干个互不干扰的环（特别的，环长可以为(1)）构成的，其中，每个环对应一个循环，得证。

2. 将一个置换上下倒换，各循环中元素不变，循环个数也不变。

3. 使置换(f=f^{T+1}​)（(f^T=I​)）的最小正整数(T​)为(f​)各循环长度（循环节）的最小公倍数。

对换即将两个元素互换（长度为(2)的轮换）。记作((a_x,a_y))。

一个可以表示成偶数个对换的乘积称为偶置换，否则称为奇置换。 显然，置换的连接满足

1. 奇置换(cdot)奇置换(=)偶置换
2. 偶置换(cdot)偶置换(=)偶置换
3. 奇置换(cdot)偶置换(=)奇置换
4. 偶置换(cdot)奇置换(=)奇置换

置换群

置换群中的元素是一些置换,运算是置换的连接。

轨道（等价类）、稳定子集与稳定化子

原数列集合中的元素(k)，在置换群(G)中所有置换的像构成的集合叫做(k)的轨道或者包括(k)的等价类，记作(k^G)（也作(orbit(k))、包含(k)的等价类(E_k)）。

有限集(X)的某(m)个元素构成了(X)的一个子集(A)，置换群(G)中可以使(A)中所有元素不动的置换构成的子集叫做(A)的一个稳定子集或稳定集。

特别地，当(m=1)时，即(X)中的一个元素(k)，置换群(G)中可以使元素(k)不动的置换构成的子集也称为(k)的稳定化子，记作(G_k)（也作(stab(k))、不动置换类(Z_k)）。

陪集

定义

设(H)是(G)的子群，对于(ain G)，({acdot h|hin H})表示(H)的一个左陪集，记作(aH)；({hcdot a|hin H})表示(H)的一个右陪集，记作(Ha)。

性质

由于左右陪集证明方法相似，故除特殊说明，下面证明仅讨论都仅考虑左陪集的情况

1. (forall ain G,|aH|=|H|)

   根据群的消去律，(G)中不会有(x,yin G)使得(acdot x=acdot y)。又(Hin G)，所以(H)中不会有(x,yin H)使得(acdot x=acdot y)。故结论成立。

2. (ain aH)

   因为(H)是个群，故(ein H)，故(a=acdot ein aH)。

3. (ain HLeftrightarrow aH=H)

   先说(aH=HRightarrow ain H)：因为(ain aH=H)（性质二）,所以(ain H)；

   再说(ain HRightarrow aH=H)：

   设(H={x_1,x_2,x_3,cdots,x_n})。

   因为(ain H), 故(a^{-1}in H)。

   设集合(H'=a^{-1}cdot H={a^{-1}x_1,a^{-1}x_2,cdots,a^{-1}x_n})。 显然(|H'|=|H|)。

   又由封闭性可知(H'in H)。，故(H'=H)。

   故(aH=aH'=aa^{-1}H=H)，得证。

4. (bin aHLeftrightarrow bH=aH)

   先说(bH=aHRightarrow bin aH)：因为(bin bH=aH)（性质二），所以(bin aH)。

   再说(bin aHRightarrow bH=aH)：显然(b=acdot x;(xin H))，因为(xH=H)（性质三），所以(bH=acdot xH=aH)。

5. (aHcap bH ot=emptysetRightarrow aH=bH)

   设(cin aHcap bH)，则(cH=aH=bH)（性质四）

   换而言之，对(G)的子群(H),(H)的任意两个左（右）陪集要么相等，要么不相交。

6. (cup_{ain G};aH=G)

   考虑(ein H)，一一枚举(ain G)，由于(acdot e=a) ,结合群(G)的封闭性，显然其并集为(G)。

相关定理

拉格朗日定理

叙述：设(H)是有限群(G)的子群，则(H)的阶整除(G)的阶（(frac{|G|}{|H|})=(H)不同的陪集数）。

证明：由陪集的性质五、六可证。

轨道-稳定化子定理

叙述：对于一个置换群(G)和一个元素(k)有(|k^G|cdot|G_k|=|G|)成立。

证明：

1. 先说 (G_k)（二元组）是(G)的子群：

   单位元： 因为(e(k)=k)，所以(ein G_k)。

   结合律：置换的连接满足结合律

   封闭性：(forall s_1,s_2in G_k, s_1(k)=s_2(k)=k)，所以(s_1[s_2(k)]=kRightarrow (s_1s_2)(k)=k)，即置换(s_1s_2in G_k)。

   逆元：置换的连接存在消去律。

   故，(G_k)是一个群。又因为(G_k)（集合）是(G)（集合）的子集，所以(G_kin G)（群）。

2. 考虑所有置换(fin G​)，因为(forall sin G_k,s(k)=k​)，所以(forall sin fG_k,s(k)=f(k)​)。

   根据(k)的轨道的定义，(k^G={f(k) |fin G}), 故(G_k)的不同的^[3]左陪集(fG_k)的数量为(|k^G|)。

3. 由拉格朗日定理，得证。

Burnside 引理

叙述：设(G)是目标集([1,n])上的置换群，(c(f))为在置换(f)下不动点的个数。若(G)将([1,n])划分为(L)个等价类，那么

[L=dfrac{1}{|G|}sum_{fin G}c(f) ]

证明：每个轨道对答案贡献为(1)，所以每个点对答案贡献为(dfrac{1}{|k^G|})。 由轨道-稳定化子定理

[L=sum_{k}dfrac{1}{|k^G|}=sum_kdfrac{|G_k|}{|G|}=dfrac{sum_k|G_k|}{|G|}=dfrac{sum_{fin G }c(f)}{|G|} ]

Pólya 计数定理

叙述：设(G)是目标集([1,n])上的置换群，设(x)是以目标集的排列为元素的集合。 (m(f))表示在置换(f)下循环节的个数。如果将([1,n])用(k)种颜色分别染色，然后把(x)划分为(L)个等价类，（(L)为本质不同的方案个数），那么

[L=dfrac{1}{|G|}sum_{fin G}k^{m(f)} ]

证明：如在置换后方案不变，除非在同一个置换节上用同一种颜色。此时不动点个数为(k^{m(f)})。结合_Burnside 引理_的证明即可。

---

1. 参考链接：《漫谈OI中的群论入门》 、《Polya》、 《群论.md》（最好）。 ↩︎

2. 写得比较随便，一些解释大概很牵强，口胡错了的请斧正！ ↩︎

3. 这里的描述可能有出入。我猜是把“集的不同”理解为“集的不等价”。 ↩︎