VC++2012编程演练数据结构《31》狄杰斯特拉算法

狄杰斯特拉算法
　Dijkstra(狄杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述
　　在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）
狄杰斯特拉算法
　　狄杰斯特拉(Dijkstra)算法思想　　
按路径长度递增次序产生最短路径算法：
　　把V分成两组：
　　（1）S：已求出最短路径的顶点的集合
　　（2）V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合
　　将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，
　　保证：（1）从源点V0到S中各顶点的最短路径长度都不大于
　　从V0到T中任何顶点的最短路径长度
　　（2）每个顶点对应一个距离值
　　S中顶点：从V0到此顶点的最短路径长度
　　T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间
　　顶点的最短路径长度
　　依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的
　　直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和
　　（反证法可证）
　　求最短路径步骤
　　算法步骤如下：
　　1. 初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值
　　若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值
　　若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为∝
　　2. 从T中选取一个其距离值为最小的顶点W且不在S中，加入S
　　3. 对其余T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的
　　距离值缩短，则修改此距离值
　　重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即W=Vi为止

狄杰斯特拉算法的原理

　　首先，引进一个辅助向量D，它的每个分量D表示当前所找到的从始点v到每个终点vi的最短路径的长度。如D[3]=2表示从始点v到终点3的路径相对最小长度为2。这里强调相对就是说在算法过程中D的值是在不断逼近最终结果但在过程中不一定就等于最短路径长度。它的初始状态为：若从v到vi有弧，则D为弧上的权值；否则置D为∞。显然，长度为 D[j]=Min{D | vi∈V} 的路径就是从v出发的长度最短的一条最短路径。此路径为(v,vj)。 那么，下一条长度次短的最短路径是哪一条呢？假设该次短路径的终点是vk，则可想而知，这条路径或者是(v,vk)，或者是(v,vj,vk)。它的长度或者是从v到vk的弧上的权值，或者是D[j]和从vj到vk的弧上的权值之和。 一般情况下，假设S为已求得最短路径的终点的集合，则可证明：下一条最短路径（设其终点为X）或者是弧(v,x)，或者是中间只经过S中的顶点而最后到达顶点X的路径。因此，下一条长度次短的最短路径的长度必是D[j]=Min{D | vi∈V-S} 其中，D或者是弧(v,vi)上的权值，或者是D[k](vk∈S)和弧(vk,vi)上的权值之和。 狄杰斯特拉算法描述如下： 1）arcs表示弧上的权值。若不存在，则置arcs为∞（在本程序中为MAXCOST）。S为已找到从v出发的最短路径的终点的集合，初始状态为空集。那么，从v出发到图上其余各顶点vi可能达到的最短路径长度的初值为D=arcs[Locate Vex(G,v),i] vi∈V 2）选择vj，使得D[j]=Min{D | vi∈V-S} 3）修改从v出发到集合V-S上任一顶点vk可达的最短路径长度。

打开IDE

我们创建一个工程


类声名如下

#if !defined(AFX_GRAPH_H__EDF8E290_EF85_4726_851D_F684E5602E43__INCLUDED_)
#define AFX_GRAPH_H__EDF8E290_EF85_4726_851D_F684E5602E43__INCLUDED_

#if _MSC_VER > 1000
#pragma once
#endif // _MSC_VER > 1000

//图的相关数据类型的定义graph.h
//最多顶点数
const int MaxV=10;
//最大权值
const int MaxValue=99;
//定义邻接表中的边结点类型
struct edgenode {
	int adjvex;   //邻接点域
	int weight;   //权值域
	edgenode* next;//指向下一个边结点的链域
};
//定义邻接表类型
typedef edgenode** adjlist;
//邻接矩阵类定义
class AdjMatrix
{private:
char g[MaxV];//顶点信息数组
int size;//当前顶点数
int GA[MaxV][MaxV];//定义邻接矩阵GA
int numE;//当前边数
public:
	//构造函数,初始化图的邻接矩阵
	AdjMatrix(int n,int k2);
	//判断图空否
	bool GraphEmpty() {return size==0;}
	//取当前顶点数
	int NumV() {return size;}
	//取当前边数
	int NumEdges() {return numE;}
	//取顶点i的值
	char GetValue(const int i);
	//取弧<v1,v2>的权
	int GetWeight(const int v1,const int v2);
	//在位置pos处插入顶点V
	void InsertV(const char &V,int pos);
	//插入弧<v1,v2>,权为weight
	void InsertEdge(const int v1,const int v2,int weight);
	//删除顶点i与顶点i相关的所有边
	char DeleteVE(const int i);
	//删除弧<v1,v2>
	void DeleteEdge(const int v1,const int v2);
	//建立图的邻接矩阵
	void CreateMatrix(int n, int k1,int k2);
	//k1为0则无向否则为有向,k2为0则无权否则为有权
	//从初始点vi出发深度优先搜索由邻接矩阵表示的图
	void dfsMatrix(bool*& visited,int i,int n,int k2);
	//从初始点vi出发广度优先搜索由邻接矩阵表示的图
	void bfsMatrix(bool*& visited,int i,int n,int k2);
	//由图的邻接矩阵得到图的邻接表
	void graphChange(adjlist &GL,int n,int k2);
	//检查输入的边序号是否越界,若越界则重输
	void Check(int n,int& i,int& j);
	//由图的邻接矩阵建立图
	void Creatgraph(int n,int k2);
	//对非连通图进行深度优先搜索
	void dfsMatrix(int n,int k2);
	//对非连通图进行广度优先搜索
	void bfsMatrix(int n,int k2);
};

#endif // !defined(AFX_GRAPH_H__EDF8E290_EF85_4726_851D_F684E5602E43__INCLUDED_)

类实现如下

#include "stdafx.h"
#include "graph.h"

//图的相关运算的实现graph.cpp
#include"graph.h"
//构造函数,初始化图的邻接矩阵
AdjMatrix::AdjMatrix(int n,int k2)
{int i,j;
 if(k2==0){//初始化无(有)向无权图
  for(i=0;i<n;i++)
   for(j=0;j<n;j++)
    GA[i][j]=0;}
 else {//初始化无(有)向有权图
  for(i=0;i<n;i++)
   for(j=0;j<n;j++)
    if(i==j) GA[i][j]=0;
    else GA[i][j]=MaxValue;}
 size=numE=0;
}
//建立图的邻接矩阵
void AdjMatrix::CreateMatrix(int n,int k1,int k2)
//k1为0则无向否则为有向,k2为0则无权否则为有权
{int i,j,k,e,w;
 cout<<"输入图的总边数:";
   cin>>e;
 if(k1==0 && k2==0) { //建立无向无权图
  cout<<"输入"<<e<<"条无向无权边的起点和终点序号!"<<endl;
  for(k=1; k<=e; k++) {
   cin>>i>>j;
   Check(n,i,j);
   GA[i][j]=GA[j][i]=1;}
  }
 else if(k1==0 && k2!=0) { //建立无向有权图
   cout<<"输入"<<e<<"条无向带权边的起点和终点序号及权值!"<<endl;
   for(k=1; k<=e; k++) {
    cin>>i>>j>>w;
    Check(n,i,j);
    GA[i][j]=GA[j][i]=w;}
  }
  else if(k1!=0 && k2==0) { //建立有向无权图
    cout<<"输入"<<e<<"条有向无权边的起点和终点序号!"<<endl;
    for(k=1; k<=e; k++) {
     cin>>i>>j;
     Check(n,i,j);
     GA[i][j]=1;}
  }
  else if(k1!=0 && k2!=0) { //建立有向有权图
    cout<<"输入"<<e<<"条有向有权边的起点和终点序号及权值!"<<endl;
    for(k=1; k<=e; k++) {
     cin>>i>>j>>w;
     Check(n,i,j);
     GA[i][j]=w;}}
  numE=e;   
  cout<<"创建后的邻接矩阵:\n";   
  for(i=0;i<n;i++)
  {for(j=0;j<n;j++)
    cout<<setw(4)<<GA[i][j];
   cout<<endl;}
}
//从初始点vi出发深度优先搜索由邻接矩阵表示的图
void AdjMatrix::dfsMatrix(bool*& visited,int i,int n,int k2)
{cout<<g[i]<<':'<<i<<"  ";
 visited[i]=true;        //标记vi已被访问过
 for(int j=0; j<n; j++)  //依次搜索vi的每个邻接点
  if(k2==0)
   {if(i!=j&&GA[i][j]!=0&&!visited[j])
     dfsMatrix(visited,j,n,k2);}
  else
   if(i!=j&&GA[i][j]!=MaxValue&&!visited[j])
     dfsMatrix(visited,j,n,k2);
}
//从初始点vi出发广度优先搜索由邻接矩阵表示的图
void AdjMatrix::bfsMatrix(bool*& visited,int i,int n,int k2)
{const int MaxLength=30;
 //定义一个队列q,其元素类型应为整型
 int q[MaxLength]={0};
 //定义队首和队尾指针
 int front=0,rear=0;
 //访问初始点vi
 cout<<g[i]<<':'<<i<<"  ";
 //标记初始点vi已访问过
 visited[i]=true;
  //将已访问过的初始点序号i入队
 q[++rear]=i;
  //当队列非空时进行循环处理
 while(front!=rear) {
  //删除队首元素,第一次执行时k的值为i
  front=(front+1)%MaxLength;
  int k=q[front];
  //依次搜索vk的每一个可能的邻接点
  for(int j=0;j<n;j++)
   if(k2==0)
    {if(k!=j&&GA[k][j]!=0&&!visited[j])
     {//访问一个未被访问过的邻接点vj
      cout<<g[j]<<':'<<j<<"  ";
      visited[j]=true;     //标记vj已访问过
      rear=(rear+1)%MaxLength;//顶点序号j入队
      q[rear]=j;
     }
    }
   else
    if(k!=j&&GA[k][j]!=MaxValue&&!visited[j])
     {//访问一个未被访问过的邻接点vj
      cout<<g[j]<<':'<<j<<"  ";
      visited[j]=true;   //标记vj已访问过
      rear=(rear+1)%MaxLength;//顶点序号j入队
      q[rear]=j;
     }
}}
//检查输入的边序号是否越界,若越界则重输
void AdjMatrix::Check(int n,int& i,int& j)
{while(1) {
  if(i<0||i>=n||j<0||j>=n)
    cout<<"输入有误,请重输!";
  else return;
  cin>>i>>j;
 }
}
//由图的邻接矩阵得到图的邻接表
void AdjMatrix::graphChange(adjlist &GL,int n,int k2)
{int i,j;
 if(k2==0)
 {for(i=0;i<n;i++){
  for(j=0;j<n;j++)
    if(GA[i][j]!=0) {
     edgenode* p=new edgenode;
     p->adjvex=j;
     p->next=GL[i];GL[i]=p;
     cout<<'('<<i<<','<<p->adjvex<<") ";}
  cout<<endl;}}
 else {
  for(i=0;i<n;i++){
   for(j=0;j<n;j++)
    if(GA[i][j]!=0 && GA[i][j]!=MaxValue) {
     edgenode* p=new edgenode;
     p->adjvex=j;p->weight=GA[i][j];
     p->next=GL[i];GL[i]=p;
     cout<<'('<<i<<','<<p->adjvex<<','<<p->weight<<") ";}
   cout<<endl;}
}}
//由图的邻接矩阵建立图
void AdjMatrix::Creatgraph(int n,int k2)
{int i,j,k,m=0;
 if(k2==0)
 {for(i=0;i<n;i++){
   k=i;
  for(j=0;j<n;j++)
    if(GA[i][j]!=0)
     if(k==i&&m<n)
      {g[m]='A'+m;size++;
       cout<<g[m]<<'('<<i<<','<<j<<") ";
       m++;
      }
  }
  cout<<endl;}
 else {
  for(i=0;i<n;i++){
   k=i;
   for(j=0;j<n;j++)
    if(GA[i][j]!=0 && GA[i][j]!=MaxValue)
     if(k==i&&m<n)
      {g[m]='A'+m;size++;
       cout<<g[m]<<'('<<i<<','<<j<<','<<GA[i][j]<<") ";
       m++;
      }
  }
 cout<<endl;}
 g[n]='\0';
}
//取顶点i的值
char AdjMatrix::GetValue(const int i)
{if(i<0||i>size)
  {cerr<<"参数i越界!\n";exit(1);}
 return g[i];
}
//取弧<v1,v2>的权
int AdjMatrix::GetWeight(const int v1,const int v2)
{if(v1<0||v1>size||v2<0||v2>size)
  {cerr<<"参数v1或v2越界!\n";exit(1);}
 return GA[v1][v2]; 
}
//在位置pos处插入顶点V
void AdjMatrix::InsertV(const char &V,int pos)
{int i;
 if(size==MaxV)
  {cerr<<"表已满,无法插入!\n";exit(1);}
 if(pos<0||pos>size)
  {cerr<<"参数pos越界!\n";exit(1);}
 for(i=size;i>pos;i--) g[i]=g[i-1];
 g[pos]=V;
 size++; 
}
//插入弧<v1,v2>,权为weight
void AdjMatrix::InsertEdge(const int v1,const int v2,int weight)
{if(v1<0||v1>size||v2<0||v2>size)
  {cerr<<"参数v1或v2越界!\n";exit(1);}
 GA[v1][v2]=weight;
 numE++; 
}
//删除顶点v与顶点v相关的所有边
char AdjMatrix::DeleteVE(const int v)
{for(int i=0;i<size;i++)
  for(int j=0;j<size;j++)
   if((i==v||j==v)&&GA[i][j]>0&&GA[i][j]<MaxValue)
    {GA[i][j]=MaxValue;
     numE--;}
 if(size==0)
  {cerr<<"表已空,无元素可删!\n";exit(1);}
 if(v<0||v>size-1)
  {cerr<<"参数v越界!\n";exit(1);}
 char temp=g[v];
 for(int i=v;i<size-1;i++) g[i]=g[i+1];
 size--;
 g[size]='\0';
 return temp;
}
//删除弧<v1,v2>
void AdjMatrix::DeleteEdge(const int v1,const int v2)
{if(v1<0||v1>size||v2<0||v2>size||v1==v2)
  {cerr<<"参数v1或v2出错!\n";exit(1);}
 GA[v1][v2]=MaxValue;
 numE--;
}
//对非连通图进行深度优先搜索
void AdjMatrix::dfsMatrix(int n,int k2)
{bool *vis=new bool[NumV()];
 for(int i=0;i<NumV();i++) vis[i]=false;
 for(int i=0;i<NumV();i++)
  if(!vis[i]) dfsMatrix(vis,i,n,k2);
 delete []vis;
}
//对非连通图进行广度优先搜索
void AdjMatrix::bfsMatrix(int n,int k2)
{bool *vis=new bool[NumV()];
 for(int i=0;i<NumV();i++) vis[i]=false;
 for(int i=0;i<NumV();i++)
  if(!vis[i]) bfsMatrix(vis,i,n,k2);
 delete []vis;
}

代码调用如下

#include "stdafx.h"


#include "graph.h"
//网G从下标v0到其他顶点的最短距离dist和最短路径下标path
void PShortPath(AdjMatrix &G,int v0,int dist[],int path[])
{int n=G.NumV();
int *s=new int[n];
int mindis,i,j,u;
for(i=0;i<n;i++)
{dist[i]=G.GetWeight(v0,i);
s[i]=0;
if(i!=v0&&dist[i]<MaxValue) path[i]=v0;
else path[i]=-1;
}
s[v0]=1;//标记顶点v0已从集合T加入到集合S中
//在当前还未找到最短路径的顶点集中选取具有最短距离的顶点u
for(i=1;i<n;i++)
{mindis=MaxValue;
for(j=0;j<n;j++)
if(s[j]==0&&dist[j]<mindis)
{u=j;
mindis=dist[j];
}
//当已不再存在路径时算法结束;此语句对非连通图是必需的
if(mindis==MaxValue) return;
s[u]=1;//标记顶点u已从集合T加入到集合S中
//修改从v0到其他顶点的最短距离和最短路径
for(j=0;j<n;j++)
if(s[j]==0&&G.GetWeight(u,j)<MaxValue&&
   dist[u]+G.GetWeight(u,j)<dist[j])
{//顶点v0经顶点u到其他顶点的最短距离和最短路径
    dist[j]=dist[u]+G.GetWeight(u,j);
    path[j]=u;
}
}
}
//算法测试
void main()
{cout<<"运行结果:\n";
int n=6,k1=1,k2=1;
AdjMatrix g(n,k2);
g.CreateMatrix(n,k1,k2);
cout<<"\n输出邻接矩阵相应图的每个顶点:\n";
g.Creatgraph(n,k2);
int m=g.NumV();
int *dist=new int[m];
int *path=new int[m];
int v0=0;
PShortPath(g,v0,dist,path);
cout<<"从顶点"<<g.GetValue(v0)
<<"到其他各顶点的最短距离为:\n";
for(int i=0;i<m;i++)
cout<<"到顶点"<<g.GetValue(i)
<<"的最短距离为:"<<dist[i]<<endl;
cout<<"从顶点"<<g.GetValue(v0)
<<"到其他各顶点的最短路径的前一顶点为:\n";
for(int i=0;i<m;i++)
if(path[i]!=-1)
cout<<"到顶点"<<g.GetValue(i)<<"的前一顶点为:"
<<g.GetValue(path[i])<<endl;
cin.get();cin.get();

}

效果如下




代码下载如下

http://download.csdn.net/detail/yincheng01/4789963