DP————LIS（最长上升子序列）和LCS（最长公共子序列）问题

LIS问题

https://www.acwing.com/problem/content/898/

思路：首先数组a中存输入的数（原本的数），开辟一个数组f用来存结果，最终数组f的长度就是最终的答案；假如数组f现在存了数，当到了数组a的第i个位置时，首先判断a[i] > f[cnt] ？ 若是大于则直接将这个数添加到数组f中，即f[++cnt] = a[i];这个操作时显然的。
当a[i] <= f[cnt] 的时,我们就用a[i]去替代数组f中的第一个大于等于a[i]的数，因为在整个过程中我们维护的数组f 是一个递增的数组，所以我们可以用二分查找在 logn 的时间复杂的的情况下直接找到对应的位置，然后替换，即f[l] = a[i]。

我们用a[i]去替代f[i]的含义是：以a[i]为最后一个数的严格单调递增序列,这个序列中数的个数为l个。

这样当我们遍历完整个数组a后就可以得到最终的结果。

时间复杂度分析：O(nlogn)O(nlogn)
C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[100001],dp[100001],len;
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    dp[1]=a[1],len=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(dp[len]<a[i]) dp[++len]=a[i];

        else{
            int j=lower_bound(dp+1,dp+len+1,a[i])-dp;//lower bound真好用
            dp[j]=a[i];

        }
    }
    cout<<len;
    return 0;
} 

LCS问题

 挺简单的，没什么好说的，看代码应该可以了解。

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string a,b;
int dp[2001][2001];
int main(){

    int len1,len2;
    cin>>len1>>len2>>a>>b;
    for(int j=1;j<=len2;j++)
    for(int i=1;i<=len1;i++){
    if(a[i-1]==b[j-1]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1);
    else dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);//阶段划分：已经处理的前缀长度 
    }
    cout<<dp[len1][len2];
    return 0;
}