范德蒙行列式计算以应用

• 第 1 列的全部的 1，其实可视为，各个数的 0 次幂；
• 最后计算乘积时，是右侧的减去左侧，下侧的减去上侧的；

0. 范德蒙行列式的证明

数学归纳法，D2 显然成立，当 Dn−1 也成立时，Dn 是否成立？

Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣1a1a21⋮an−111a2a22⋮an−121a3a23⋮an−13………⋱…1ana2n⋮an−1n∣∣∣∣∣∣∣∣

然后对 Dn 进行整理，从最后一行开始，rn:=rn−a1⋅rn−1（下一行 := 下一行 - a1上一行），因此往上：

Dn==∣∣∣∣∣∣∣∣100⋮01a2−a1a22−a2a1⋮an−12−an−22a11a3−a1a23−a3a1⋮an−13−an−23a1………⋱…1an−a1a2n−ana1⋮an−1n∣∣∣∣∣∣∣∣=(a2−a1)(a3−a1)⋯(an−a1)Π2≤j<i≤n(xi−xj)

得证；

1. 镶边法计算准范德蒙行列式

试计算如下行列式：

∣∣∣∣∣∣1aa2a41bb2b41cc2c41dd2d4∣∣∣∣∣∣

长得太像范德蒙行列式了，做如下镶边：

∣∣∣∣∣∣∣∣1aa2a3a41bb2b3b41cc2c3c41dd2d3d41xx2x3x4∣∣∣∣∣∣∣∣

因此整个行列式的值为：
(x−a)(x−b)(x−c)(x−d)(d−a)(d−b)(d−c)(c−a)(c−b)(b−a)，此时，我们仅看 x3 项的系数（负的原行列式的值），(a+b+c+d)(d−a)(d−b)(d−c)(c−a)(c−b)(b−a)