【模板】2-SAT 问题

嘟嘟嘟

 

SAT以及2-SAT问题是啥以及定义我就不叨叨了，直接讲怎么求。

比如有一个条件：a || b，就是说a，b必须至少有一个为真。这个可以转化为（!a => b && !b => a），那么就可以连边建图了：首先把每一个点x拆成x和!x，那么对于上述条件，连两条边(!a -> b)和(!b -> a)。类似的，对于a和b的其他条件，我们也可以模仿着连边。

接下来怎么判断是否有可行解呢？可以用tarjan强连通分量缩点，对于属于一个强连通分量的点，他们的取值一定都是相同的（就是都是真或者都是假）。那么如果x和!x在一个强连通分量中，则必定无解，因为x为真和!x为真之可能满足一个。

那么接下来应该输出合法的一组解。一般2-SAT问题都有spj，所以任意一组就行。

 要分两种情况：

1.如果x的拓扑序在!x前面，那么x一定是0.因为x一定有一条路径通向!x，如果x是1，一定能推出!x是1，也就是x是0，矛盾了。

2.如果x拓扑序在!x后面，那么x必定是1。仿照上述思想，如果!x为真，说明x = 0，能推出x为真，即x = 1，矛盾。如果x = 1,则!x为假，不一定能推出x。所以x必须是1。

不过tarjan缩完点后的拓扑序是反的，所以col[x] < col[x + n]说明x在!x后面；反之同理。

讲完了。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
#define enter puts("")
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define rg register
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 1e6 + 5;
inline ll read()
{
  ll ans = 0;
  char ch = getchar(), las = ' ';
  while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
  while(isdigit(ch)) ans = ans * 10 + ch - '0', ch = getchar();
  if(las == '-') ans = -ans;
  return ans;
}
inline void write(ll x)
{
  if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
  if(x >= 10) write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}

int n, m;
struct Edge
{
  int to, nxt;
}e[maxn << 1];
int head[maxn << 1], ecnt = 0;
void addEdge(int x, int y)
{
  e[++ecnt].to = y;
  e[ecnt].nxt = head[x];
  head[x] = ecnt;
}

stack<int> st;
bool in[maxn << 1];
int dfn[maxn << 1], low[maxn << 1], cnt = 0;
int col[maxn << 1], ccol = 0;
void tarjan(int now)
{
  dfn[now] = low[now] = ++cnt;
  st.push(now); in[now] = 1;
  for(int i = head[now]; i; i = e[i].nxt)
    {
      if(!dfn[e[i].to])
    {
      tarjan(e[i].to);
      low[now] = min(low[now], low[e[i].to]);
    }
      else if(in[e[i].to]) low[now] = min(low[now], dfn[e[i].to]);
    }
  if(dfn[now] == low[now])
    {
      int x; ++ccol;
      do
    {
      x = st.top(); st.pop();
      col[x] = ccol; in[x] = 0;
    }while(x != now);
    }
}

int main()
{
  n = read(); m = read();
  for(int i = 1; i <= m; ++i)
    {
      int x = read(), flg1 = read(), y = read(), flg2 = read();
      addEdge(x + flg1 * n, y + (flg2 ^ 1) * n);
      addEdge(y + flg2 * n, x + (flg1 ^ 1) * n);
    }
  for(int i = 1; i <= (n << 1); ++i) if(!dfn[i]) tarjan(i);
  for(int i = 1; i <= n; ++i) if(col[i] == col[n + i])
      printf("IMPOSSIBLE
"); return 0;
    }
  printf("POSSIBLE
");
  for(int i = 1; i <= n; ++i) write(col[i] < col[i + n]), space;
  enter;
  return 0;
}