ICPC2021 沈阳站 M String Problem

牛客传送门


KMP的做法暂时没看懂，这里提供两种SAM的做法。
感谢樱花猪开喵喵车创大白熊和新手上路两队的代码提供的思路。

第一种做法稍麻烦一些：

对于每一个前缀，字典序最大的子串一定是该前缀的一个后缀，而比较这些后缀的方法就是选择这些后缀中，最靠前的不同的字符。如果将原串反过来，就可以用SAM维护了。

将反串建成SAM，然后对于后缀链接树上每一个节点\(u\)的出边\(v_i\)，按\(endpos[v] - len[u]\)在原串中的字符排序，这样就能优先访问字典序更大的子串了。

现在对于每个前缀都要求对应的最大后缀。可以倒着做：先将所有节点以dfs序为关键字扔到一个大根堆中，因为dfs序大的节点代表的子串一定大，那么如果当前堆顶代表的子串在枚举的当前前缀的范围内，那么这个子串就是答案，否则将堆顶弹出，再取堆中最大的元素。

这样时间复杂度是\(O(n \log n)\)，需要稍微加一些常数优化才能通过。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
#define forE(i, x, y) for(int i = head[x], y; ~i && (y = e[i].to); i = e[i].nxt)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 1e6 + 5;
const int maxs = 27;
In ll read()
{
	ll ans = 0;
	char ch = getchar(), las = ' ';
	while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	if(las == '-') ans = -ans;
	return ans;
}
In void write(ll x)
{
	if(x < 0) x = -x, putchar('-');
	if(x >= 10) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

int n, ans[maxn];
char s[maxn];
struct Sam
{
	int tra[maxn << 1][maxs], link[maxn << 1], len[maxn << 1], endp[maxn << 1], cnt, las;
	In void init() {link[cnt = las = 0] = -1; Mem(tra[0], 0);}
	In void insert(int c, int id)
	{
		int now = ++cnt, p = las; Mem(tra[now], 0);
		len[now] = len[p] + 1, endp[now] = id;
		while(~p && !tra[p][c]) tra[p][c] = now, p = link[p];
		if(p == -1) link[now] = 0;
		else
		{
			int q = tra[p][c];
			if(len[q] == len[p] + 1) link[now] = q;
			else
			{
				int clo = ++cnt;
				memcpy(tra[clo], tra[q], sizeof(tra[q]));
				len[clo] = len[p] + 1, endp[clo] = endp[q];
				link[clo] = link[q], link[q] = link[now] = clo;
				while(~p && tra[p][c] == q) tra[p][c] = clo, p = link[p];
			}
		}
		las = now;
	}
	#define pr pair<int, int>
	#define mp make_pair
	#define F first
	#define S second
	int buc[maxn << 1], pos[maxn << 1];
	vector<pr> V[maxn << 1];
	int du[maxn << 1], dfn[maxn << 1], dcnt;
	In void dfs(int now)
	{
		dfn[now] = ++dcnt;
		for(auto x : V[now]) dfs(x.S);
	}
	In void buildGraph()
	{
		for(int i = 1; i <= cnt; ++i) buc[len[i]]++;
		for(int i = 1; i <= cnt; ++i) buc[i] += buc[i - 1];
		for(int i = 1; i <= cnt; ++i) pos[buc[len[i]]--] = i;
		endp[0] = INF;
		for(int i = cnt; i; --i)
		{
			int now = pos[i], fa = link[now];
			du[fa]++;
			endp[fa] = min(endp[fa], endp[now]);
			V[fa].push_back(mp(s[endp[now] + len[fa]], now));
		}
		for(int i = 0; i <= cnt; ++i) sort(V[i].begin(), V[i].end());
		dcnt = 0, dfs(0);
	}
	In void solve()
	{
		priority_queue<pr> q;
		for(int i = 1; i <= cnt; ++i) if(!du[i]) q.push(mp(dfn[i], i));
		for(int i = n, now = 0; i; --i)
		{
			while(!ans[i])
			{
				if(!now) now = q.top().S;		//减少堆操作来优化常数 
				if(endp[now] + len[link[now]] > i)
				{
					q.pop();
					if(now && !--du[link[now]]) q.push(mp(dfn[link[now]], link[now]));
					now = 0;
				}
				else ans[i] = endp[now];
			}
		}
	}
}S;

int main()
{
	scanf("%s",s + 1);
	n = strlen(s + 1); S.init();
	for(int i = n; i; --i) S.insert(s[i] - 'a', i);
	S.buildGraph(), 
	S.solve();
	for(int i = 1; i <= n; ++i) write(ans[i]), space, write(i), enter;
	return 0;
}

第二种做法代码量相对来说短了不少，我认为是对暴力的一种优化。

首先这题一种\(O(n^2)\)的暴力做法是取出所有子串，并按字典序总大到小排序，记一个子串是\(S_{l \sim r}\)，那么\(ans[r]\)的答案就是第一个出现的\(S_{l \sim r}\)。

用SAM优化这个方法：用正串建完SAM后，贪心的在SAM上跑字典序最大的子串，那么第一个走到该节点的子串一定是最大的。又因为在同一个节点的子串结束位置相同，而且经过这个节点到达别的节点形成的子串前缀相同，所以后来经过这个节点形成的子串一定比第一次经过的要小，那么走过的节点就不用再走了。

时间复杂度就是\(O(27n)\).

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
#define forE(i, x, y) for(int i = head[x], y; ~i && (y = e[i].to); i = e[i].nxt)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 1e6 + 5;
const int maxs = 27;
In ll read()
{
	ll ans = 0;
	char ch = getchar(), las = ' ';
	while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	if(las == '-') ans = -ans;
	return ans;
}
In void write(ll x)
{
	if(x < 0) x = -x, putchar('-');
	if(x >= 10) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

int n, ans[maxn];
char s[maxn];
struct Sam
{
	int tra[maxn << 1][maxs], link[maxn << 1], len[maxn << 1], endp[maxn << 1], cnt, las;
	In void init() {link[cnt = las = 0] = -1; Mem(tra[0], 0);}
	In void insert(int c, int id)
	{
		int now = ++cnt, p = las; Mem(tra[now], 0);
		len[now] = len[p] + 1, endp[now] = id;
		while(~p && !tra[p][c]) tra[p][c] = now, p = link[p];
		if(p == -1) link[now] = 0;
		else
		{
			int q = tra[p][c];
			if(len[q] == len[p] + 1) link[now] = q;
			else
			{
				int clo = ++cnt;
				memcpy(tra[clo], tra[q], sizeof(tra[q]));
				len[clo] = len[p] + 1, endp[clo] = endp[q];
				link[clo] = link[q], link[q] = link[now] = clo;
				while(~p && tra[p][c] == q) tra[p][c] = clo, p = link[p];
			}
		}
		las = now;
	}
	bool vis[maxn << 1];
	In void dfs(int now, int l)				//l：最大子串开始位置 
	{
		vis[now] = 1;
		for(int i = 25; i >= 0; --i)		//在SAM贪心地走最大的 
			if(tra[now][i] && !vis[tra[now][i]]) dfs(tra[now][i], l + 1);
		if(!ans[endp[now]]) ans[endp[now]] = endp[now] - l + 1;
	}
}S;

int main()
{
	scanf("%s",s + 1);
	n = strlen(s + 1); S.init();
	for(int i = 1; i <= n; ++i) S.insert(s[i] - 'a', i);
	S.dfs(0, 0);
	for(int i = 1; i <= n; ++i) write(ans[i]), space, write(i), enter;
	return 0;
}

还有一个就是kmp的做法，我虽然没看懂，不过也发一下代码吧。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
#define forE(i, x, y) for(int i = head[x], y; ~i && (y = e[i].to); i = e[i].nxt)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 1e6 + 5;
const int maxs = 27;
In ll read()
{
	ll ans = 0;
	char ch = getchar(), las = ' ';
	while(!isdigit(ch)) las = ch, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	if(las == '-') ans = -ans;
	return ans;
}
In void write(ll x)
{
	if(x < 0) x = -x, putchar('-');
	if(x >= 10) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

int n;
char s[maxn];

vector<int> f, g;

int main()				//好短 
{
	scanf("%s",s + 1);
	n = strlen(s + 1);
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		g.clear(), g.push_back(i);
		for(auto x : f)
		{
			while(!g.empty() && s[x + i - g.back()] > s[i]) g.pop_back();
			if(g.empty() || s[x + i - g.back()] == s[i]) g.push_back(x);
		}
		f.clear();
		for(auto x : g)
		{
			while(!f.empty() && (i - f.back() + 1) * 2 > i - x + 1) f.pop_back();
			f.push_back(x);
		}
		write(f.back()), space, write(i), enter;
	}
	return 0;
}