BZOJ 1025 游戏

Description

windy学会了一种游戏。对于1到N这N个数字，都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。最开始windy把数字按顺序1，2，3，……，N写一排在纸上。然后再在这一排下面写上它们对应的数字。然后又在新的一排下面写上它们对应的数字。如此反复，直到序列再次变为1，2，3，……，N。 如： 1 2 3 4 5 6 对应的关系为 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6 windy的操作如下 1 2 3 4 5 6 2 3 1 5 4 6 3 1 2 4 5 6 1 2 3 5 4 6 2 3 1 4 5 6 3 1 2 5 4 6 1 2 3 4 5 6 这时，我们就有若干排1到N的排列，上例中有7排。现在windy想知道，对于所有可能的对应关系，有多少种可能的排数。

Input

包含一个整数，N。

Output

包含一个整数，可能的排数。

Sample Input

【输入样例一】
3
【输入样例二】
10

Sample Output

【输出样例一】
3
【输出样例二】
16

HINT

【数据规模和约定】

100%的数据，满足 1 <= N <= 1000 。

Source

首先，我们可以这样思考，每个置换排列都有若干个循环结。e.g. 3 2 1 5 4 6的循环结就是(1,2,3)(4,5)(6)，所以它所能变换的排列数为(lcm为最小公倍数)lcm(1,2,3)=6。而1+2+3=6。

所以我们只需要求出满足x1+x2+x3+x4+...xm=n，lcm(x1,x2,x3,...,xm)有多少种。

蒟蒻的我也只能YY到这里了，暴力枚举肯定没戏，剩下的是题解做的了，其实想想应该是能自己策清的。

首先我们令x1+x2+x3+...+xm<=n(如果少了我们可以补1嘛)。再令x1=p1^t1,x2=p2^t2...其中pi为质数且pi≠pj(i≠j)，则lcm=∏xi，明显不重复。

然后，我们只需要证明若xi=pi*pj，也可以用lcm也包含在上面的情况。

不妨设pi<pj，则因为p是质数，明显有pi*pj>pi+pj，所以对于这种情况我们在pi,pj的情况中枚举了(少了仍然可以补1)。

因此，我们可以dp了，哈哈哈。

f[i][j]表示前i个质数，何为j的方案数(我们都是拆分成pi^ti的形式，刚刚已经证明了其不可能重复，也包含了所有方案)。转移自己脑补一下吧！！！

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;

#define maxn 1010
int n,tot,prime[maxn]; long long f[maxn][maxn],ans; bool exist[maxn];

inline void find()
{
    for (int i = 2;i <= n;++i)
        if (!exist[i])
        {
            prime[++tot] = i;
            for (int j = i*i;j <= n;j += i) exist[j] = true;
        }
}

inline void dp()
{
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1;i <= tot;++i)
    {
        for (int j = 0;j <= n;++j) f[i][j] = f[i-1][j];
        for (int j = prime[i];j <= n;j *= prime[i])
        {
            for (int k = 0;k + j <= n;++k)
                f[i][k+j] += f[i-1][k];
        }
    }
    for (int i = 0;i <= n;++i) ans += f[tot][i];
}

int main()
{
    freopen("1025.in","r",stdin);
    freopen("1025.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    find();
    dp();
    printf("%lld",ans);
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}