算法之二分法及其应用
算法思路
① 将数组中间元素与目标元素进行比较，如果正好是目标元素，则结束搜索
② 如果目标元素大于中间元素，则进入中间元素的右边区域进行查找，重复步骤 ① 的操作
③ 如果目标元素小于中间元素，则进入中间元素的左边区域进行查找，重复步骤 ① 的操作
依次类推，若某一步查找区域为空，则表明没有找到目标元素
代码实现
public int binarySearch(int[] arr, int key) {
int low = 0;
int high = arr.length - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + (high - low) / 2;
if (key == arr[mid]) {
return mid;
} else if (key > arr[mid]) {
low = mid + 1;
} else {
high = mid - 1;
}
}
return -1; // 表明没有找到对应的值
}
提醒：这里求 mid 的时候不推荐使用 mid = ( low + high ) / 2 的方式，因为当数组较大的时候，low + high 可能会发生溢出
推荐写成 mid = low + (high - low) / 2
（ 除 2 等同于右移一位，所以也可以写成 mid = low + ((high - low) >> 1)，右移一位比除 2 的速度要快）
我曾思考过既然要防止溢出，意味着也可以写成 mid = low / 2 + high / 2 ，不过这种方式算出来没有上述代码中所写方式更精确，譬如 low 为 1，high 为 3, 那么通过这种方式得到的就是 1/2 + 3/2 = 0 + 1 = 1， 而 1 和 3 的中间数应该是 2
复杂度分析
通过比较中间值，每次都可以过滤掉一半的元素，所以时间复杂度为 O ( log N )
应用
1. 找到等于 num 的值 [前提：有序]
这是最常见的应用，代码如上所示
2. 找到大于等于 num 最左侧的位置 [前提：有序]
题目
举个栗子，比如 int[] arr = {1, 2, 3, 3, 4, 4, 7, 7, 9} , 那么大于等于 3 的最左侧位置下标为 2，大于等于 5 的最左侧位置下标为 6
思路
① 将数组中间元素与 num 进行比较
A. 如果中间元素满足 >= num , 则将此下标保存到变量 t 中，并继续中间元素左侧的二分
B. 如果中间元素不满足 >= num , 则继续中间元素右侧的二分
按照 ① 步骤不断二分直到二分结束
代码
public int findLeftest(int[] arr, int num) {
int low = 0;
int high = arr.length - 1;
int t = -1;
while (low <= high) {
int mid = low + (high - low) / 2;
if (arr[mid] >= num) {
t = mid;
high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
return t;
}
总结
找到等于 num 的位置和找到大于等于 num 最左侧的位置最大的不同在于，前者只要找到目标元素的位置，就可以返回；而后者必须要二分结束，才能返回
相似应用
找到小于等于 num 最右侧的位置，实现思路和上面是差不多的，有兴趣的同学可以自己试着写一下
3. 局部最小值问题
题目
在数组中找到一个局部最小的位置
定义局部最小的概念。arr 长度为1时，arr[0] 是局部最小。arr 的长度为 N(N>1) 时，如果 arr[0] < arr[1]，那么 arr[O] 是局部最小;如果 arr[N-1] < arr[N-2] ，那么 arr[N-1] 是局部最小;如果 O<i<N-1 ，既有 arr[i] < arr[i-1] ，又有 arr[i] < arr[i+1] ，那么 arr[i] 是局部最小。给定无序数组 arr，已知 arr 中任意两个相邻的数都不相等。写一个函数，只需返回 arr 中任意一个局部最小出现的位置即可。
思路
A. 先判断 arr[0] 是否为局部最小，是则返回
B. 看最后一位是否为局部最小，是则返回
C. 若都不是，那么在 0 ~ N-1 之间必存在局部最小
说明如下：由于 arr[0] 和 arr[n-1] 都不是局部最小，那么 arr[0] > arr[1] ，arr[N-1] > arr[N-2], 数组呈现的趋势如下：
那么在这数组中，一定存在局部最小值（无论中间的趋势如何，一定会出现一个波谷，因为最左边是呈下降趋势，最右边呈上升趋势，其中就至少存在一个位置，使得趋势发生变化，而发生变化的这个点就是波谷，即我们的局部最小）
D. 取中间值 M, 判断 M 是否为局部最小，若是则返回；否则，arr[M] > arr[M-1] 或 arr[M] > arr[M+1]，假设arr[M] > arr[M-1]，由假设情况可得到如下图
E. 那么 0 ~ M 之间必定存在局部最小，依次类推... 必能找到局部最小值
代码
public int findMiniNum(int[] arr) {
int length;
if (arr == null || (length = arr.length) < 1) {
return -1; // 表示不存在
}
// 判断 arr[0] 是否为局部最小
if (length == 1 || arr[0] < arr[1]) {
return 0;
}
// 判断最后一个元素是否为局部最小
if (arr[length - 1] < arr[length - 2]) {
return length - 1;
}
int low = 1;
int high = length - 2;
while (low < high) {
int mid = low + (high - low) / 2;
if (arr[mid] > arr[mid - 1]) {
high = mid - 1;
} else if (arr[mid] > arr[mid + 1]) {
low = mid + 1;
} else {
return mid;
}
}
return low; // 此时 low == high,而必定存在局部最小，所以直接返回 low 或 high 即可
}
总结
我们惯性思维是二分法只能用于有序数组，这道题打破了我们的常规印象
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