考察$oldsymbol ucdotoldsymbol y$的几何意义。
把向量$oldsymbol y$拆成两个分量：$oldsymbol y=oldsymbol{hat y}+oldsymbol z$。其中$oldsymbol{hat y}=alphaoldsymbol u$是$oldsymbol y$在$oldsymbol u$上的射影，$oldsymbol z$是$oldsymbol y$垂直于$oldsymbol u$的分量。
所以$0=oldsymbol zcdotoldsymbol u=(oldsymbol y-alphaoldsymbol u)oldsymbol u=oldsymbol ycdotoldsymbol u-alphaoldsymbol ucdotoldsymbol u$
即$alpha=frac{oldsymbol ycdotoldsymbol u}{oldsymbol ucdotoldsymbol u}$
那么$oldsymbol{hat y}=frac{oldsymbol ycdotoldsymbol u}{oldsymbol ucdotoldsymbol u}oldsymbol u=frac{oldsymbol ycdotoldsymbol u}{||oldsymbol u||^2}oldsymbol u=(ycdotfrac{oldsymbol u}{||oldsymbol u||})frac{oldsymbol u}{||oldsymbol u||}=(oldsymbol ycdotoldsymbol{u_0})oldsymbol{u_0}=poldsymbol{u_0}$
其中$oldsymbol{u_0}$是$oldsymbol u$方向上的单位向量，$p=oldsymbol ycdotoldsymbol{u_0}$是$oldsymbol y$在$oldsymbol u$上的射影的长度。
$oldsymbol ycdotoldsymbol{u}=p||oldsymbol u||$，代表$oldsymbol y$在$oldsymbol u$上的射影的长度乘上$oldsymbol u$本身的长度。