取模性质,快速幂,快速乘,gcd和最小公倍数

一.取模运算

取模(取余)运算法则:

1. (a+b)%p=(a%p+b%p)%p;

2.(a-b)%p=(a%p-b%p)%p;

3.(a*b)%p=(a%p * b%p)%p;

4.(a^b)%p=(   (a%p)^b  )%p;

5. (  (a+b)%p+c  )%p=( a+(b+c)%p  )%p;

6.( a*(b*c)%p )%p =( c*(a*b)%p )%p;

7.( (a+b)%p*c )%p= ( (a*c)%p + (b*c)%p )%p;

几条重要性质:

1.a≡b%p,呢么对于任意的c都有 (a+c)≡(b+c)%p, (a*c)≡(b*c)%p;

2.a≡b%p,c≡d%p呢么 (a+c)≡(b+d)%p,(a*c)≡(b*d)%p;

  关于取余运算(rem)与取模运算(mod)的区别:

网上资料显示是他们的运算方式导致了有负数时出现不同结果

rem(a,b)=a-b*fix(a/b),是采用了fix()函数 向0方向取整(并且结果的正负一定与被除数 a 相同)

mod(a,b)=a-b*floor(a/b),采用了floor()函数 向负无穷方向取整 (并且结果的正负一定与除数 b 相同)

示例:mod(4,-3)= (4-(-3)*(-1.3) )= -  2 ; rem(4,-3)= (4-(-3)(-1.3) )= + 1; (我的DEV5.11采用的是rem)

快速幂,快速乘,gcd,最小公倍数模板代码:

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
/* 快速幂 ,快速乘,gcd,取模(取余)预算法则与取余预算区别*/
int main()
{
    int a,b,c,d;
    long long  sum1=1,sum2=1;
    cin>>a>>b>>c>>d;

    /*快速幂*/
    while(b)
    {
        if(b%2==1)
            sum1*=a;
        b/=2;
        a*=a;
    }
    /*快速幂*/
    cout<<sum1<<endl<<endl;
    while(d)
    {

        if(d&1)
            sum2*=c;
        c*=c;
        d>>=1;
    }
    cout<<sum2<<endl<<endl;

    /*快速乘*/
    cin>>a>>b;
    long long res=0;
    while(b!=0)
    {
        if(b%2==1) res+=a;
        a+=a;
        b/=2;
    }
    cout<<res<<endl<<endl;
    /*快速乘 */
    while(b>0)
    {
        if (b&1!=0) res+=a;
        a+=a;
        b>>=1;
    }
    cout<<res<<endl<<endl;
    /* gcd */
    int t,product;
    cin>>a>>b;
    product=a*b;
    while(b)
    {
        t=b;
        b=a%b;
        a=t;
    }
    cout<<a<<" ";
    cout<<"最小公倍数乘积除以最大公约数"
        <<product/a<<endl<<endl;
    cin>>a>>b;
    /*百度大神代码*/
    while(b^=a^=b^=a%=b);
    cout<<a<<endl<<endl;
    return 0;
}