牛跑步
【问题描述】
BESSIE准备用从牛棚跑到池塘的方法来锻炼. 但是因为她懒,她只准备沿着下坡的路跑到池塘, 然后走回牛棚. BESSIE也不想跑得太远,所以她想走最短的路经. 农场上一共有M (1 <= M <= 10,000)条路, 每条路连接两个用1..N(1 <= N <= 1000)标号的地点. 更方便的是,如果X>Y,则地点X的高度大于地点Y的高度. 地点N是BESSIE的牛棚;地点1是池塘. 很快, BESSIE厌倦了一直走同一条路.所以她想走不同的路,更明确地讲,她想找出K (1 <= K <= 100)条不同的路经.为了避免过度劳累,她想使这K条路经为最短的K条路经. 请帮助BESSIE找出这K条最短路经的长度.你的程序需要读入农场的地图, 一些从X_i到Y_i 的路经和它们的长度(X_i, Y_i, D_i). 所有(X_i, Y_i, D_i)满足(1 <= Y_i < X_i; Y_i < X_i <= N, 1 <= D_i <= 1,000,000).
【输入格式】
* 第1行: 3个数: N, M, 和K
* 第 2..M+1行: 第 i+1 行包含3个数 X_i, Y_i, 和 D_i, 表示一条下坡的路.
【输出格式】
* 第1..K行: 第i行包含第i最短路经的长度,或-1如果这样的路经不存在.如果多条路经有同样的长度,请注意将这些长度逐一列出.
【样例输入】
5 8 7
5 4 1
5 3 1
5 2 1
5 1 1
4 3 4
3 1 1
3 2 1
2 1 1
【样例输出】
1
2
2
3
6
7
-1
【样例解释】
路经分别为(5-1), (5-3-1), (5-2-1), (5-3-2-1), (5-4-3-1),(5-4-3-2-1).
题解：
A*，f(n)=h(n)+g(n)，g(n)表示从初始结点到任意结点n的代价，h(n)表示从结点n到目标点的启发式评估代价
启发式函数可以控制A*的行为：
- 一种极端情况，如果h(n)是0，则只有g(n)起作用，此时A*演变成Dijkstra算法，这保证能找到最短路径。
- 如果h(n)经常都比从n移动到目标的实际代价小（或者相等），则A*保证能找到一条最短路径。h(n)越小，A*扩展的结点越多，运行就得越慢。
- 如果h(n)精确地等于从n移动到目标的代价，则A*将会仅仅寻找最佳路径而不扩展别的任何结点，这会运行得非常快。尽管这不可能在所有情况下发生，你仍可以在一些特殊情况下让它们精确地相等（译者：指让h(n)精确地等于实际值）。只要提供完美的信息，A*会运行得很完美，认识这一点很好。
- 如果h(n)有时比从n移动到目标的实际代价高，则A*不能保证找到一条最短路径，但它运行得更快。
- 另一种极端情况，如果h(n)比g(n)大很多，则只有h(n)起作用，A*演变成BFS算法。
所以我们得到一个很有趣的情况，那就是我们可以决定我们想要从A*中获得什么。理想情况下，我们想最快地得到最短路径。如果我们的目标太低，我们仍会得到最短路径，不过速度变慢了；如果我们的目标太高，那我们就放弃了最短路径，但A*运行得更快。
摘自：堪称最好的A*算法
此题我们可以直接用单源最短路（Spfa）求出精确的h(n)，根据A*性质那么第k次找到终点的路径就是第k大的路径
1 #include<cmath> 2 #include<queue> 3 #include<cstdio> 4 #include<cstdlib> 5 #include<cstring> 6 #include<iostream> 7 #include<algorithm> 8 using namespace std; 9 inline void Scan(int &x) 10 { 11 char c; 12 bool o = false; 13 while(!isdigit(c = getchar())) o = (c != '-') ? o : true; 14 x = c - '0'; 15 while(isdigit(c = getchar())) x = x * 10 + c - '0'; 16 if(o) x = -x; 17 } 18 const int maxn = 5e3 + 233; 19 const int maxm = 2e5 + 233; 20 const double inf = 2e9; 21 int n, m, k; 22 int ansn, ans[maxn]; 23 int x[maxm], y[maxm], z[maxm]; 24 int tot, fir[maxn], nex[maxm], ver[maxm]; 25 double val[maxm]; 26 inline void Add(int x, int y, double z) 27 { 28 nex[++tot] = fir[x]; 29 fir[x] = tot; 30 ver[tot] = y; 31 val[tot] = z; 32 } 33 bool vis[maxn]; 34 int que[maxn << 2]; 35 double dis[maxn]; 36 inline void Spfa(int x) 37 { 38 for(int i = 1; i <= n; ++i) dis[i] = inf; 39 int head = 0, tail = 1; 40 que[tail] = x; 41 dis[x] = 0; 42 vis[x] = true; 43 while(head < tail) 44 { 45 int u = que[++head]; 46 for(int i = fir[u]; i; i = nex[i]) 47 { 48 int v = ver[i]; 49 if(dis[v] > dis[u] + val[i]) 50 { 51 dis[v] = dis[u] + val[i]; 52 if(!vis[v]) 53 { 54 vis[v] = true; 55 que[++tail] = v; 56 } 57 } 58 } 59 vis[u] = false; 60 } 61 } 62 struct ele 63 { 64 int num; 65 double len; 66 }; 67 priority_queue <ele> p; 68 inline bool operator < (ele a, ele b) 69 { 70 return a.len + dis[a.num] > b.len + dis[b.num]; 71 } 72 inline void Astar() 73 { 74 ele u, v; 75 p.push((ele) {n, 0}); 76 while(!p.empty()) 77 { 78 u = p.top(); 79 p.pop(); 80 if(u.num == 1) 81 { 82 ans[++ansn] = u.len; 83 if(ansn == k) return; 84 } 85 for(int i = fir[u.num]; i; i = nex[i]) 86 { 87 v.num = ver[i]; 88 v.len = u.len + val[i]; 89 p.push(v); 90 } 91 } 92 } 93 int main() 94 { 95 Scan(n), Scan(m), Scan(k); 96 for(int i = 1; i <= m; ++i) 97 { 98 Scan(x[i]), Scan(y[i]), Scan(z[i]); 99 Add(y[i], x[i], z[i]); 100 } 101 Spfa(1); 102 tot = 0; 103 memset(fir, 0, sizeof(fir)); 104 for(int i = 1; i <= m; ++i) Add(x[i], y[i], z[i]); 105 memset(ans, 127, sizeof(ans)); 106 Astar(); 107 for(int i = 1; i <= k; ++i) printf("%d ", ans[i] < inf ? ans[i] : -1); 108 }