Math单元函数
单元包含高性能的算术、三角、对数、统计和金融方面的计算及FPU程序函数用于补充Delphi语言System.pas
单元中的数学常规程序函数
参考：
1)
P.J.
Plauger, "The Standard C Library", Prentice-Hall, 1992, Ch.
7.
《标准C程序库》
2)
W.J. Cody,
Jr., and W. Waite, "Software Manual For the Elementary Functions",
Prentice-Hall, 1980.《软件手册初步》
3)
Namir
Shammas, "C/C++ Mathematical Algorithms for Scientists and
Engineers", McGraw-Hill, 1995, Ch 8.《C/C++
数学的运算法则对于科学家和工程师》
4)
H.T. Lau, "A
Numerical Library in C for Scientists and Engineers", CRC Press,
1994, Ch. 6.《C语言中的数字的程序库对于科学家和工程师》
5)
"Pentium(tm)
Processor User's Manual, Volume 3: Architecture and Programming
Manual", Intel, 1994《Pentium(tm)
处理器使用手册,第
3
册:
体系结构和程序手册》
注意
1)
对于有些函数，这个单元中涉及的概念或常数由Earl F. Glynn (www.efg2.com)
和 Ray
Lischner (www.tempest-sw.com)提供。
2)
所有的角度参数三角函数的结果都用弧度表示
3)
下列大部分的三角和对数程序直接的映射到Intel 80387 FPU
4)
浮点机指令、输入域、输出范围和错误处理主要由 FPU
硬件决定
5)
汇编程序中的代码支持Pentium FPU
管线体系
l
常数
IEEE
浮点类型的范围,
包括非正规的
1)
MinSingle = 1.5e-45;
最小Single数
2)
MaxSingle = 3.4e+38;
最大Single数
3)
MinDouble = 5.0e-324;
最小Double数
4)
MaxDouble = 1.7e+308;
最大Double数
5)
MinExtended = 3.4e-4932;
最小Extended数
6)
MaxExtended = 1.1e+4932;
最大Extended数
7)
MinComp =
-9.223372036854775807e+18;
最小Comp数
8)
MaxComp =
9.223372036854775807e+18;
最大Comp数
下列常数不应当被用于比较关系，仅仅用于分配。若要用于比较关系请使用IsNan
和 IsInfinity
函数。（已提供在后面）
9)
NaN = 0.0 / 0.0;
非数 (*$EXTERNALSYM NaN*) (*$HPPEMIT 'static
const Extended NaN = 0.0 / 0.0;'*)
10)
Infinity = 1.0 / 0.0;
正无穷大 (*$EXTERNALSYM
Infinity*) (*$HPPEMIT 'static
const Extended Infinity = 1.0 / 0.0;'*)
11)
NegInfinity = -1.0 /
0.0;
负无穷大
(*$EXTERNALSYM NegInfinity*) (*$HPPEMIT 'static
const Extended NegInfinity = -1.0 / 0.0;'*)
一、
三角函数
1)
函数 ArcCos(const X:
Extended): Extended;
（ IN: |X| <= 1 OUT: [0..PI]
弧度）
2)
函数 ArcSin(const X:
Extended): Extended;
（IN:
|X| <= 1 OUT: [-PI/2..PI/2]
弧度）
3)
函数 ArcTan2(const Y, X:
Extended): Extended; IN: |Y|
< 2^64, |X| < 2^64, X
<> 0 OUT:
[-PI..PI]
弧度）。计算ArcTan(Y/X),
并且返回一个正确象限内的角度
4)
过程 SinCos(const Theta:
Extended; var Sin, Cos: Extended) register；
SinCos：比分别调用Sin
和Cos
计算同一个角度快两倍
5)
函数 Tan(const X:
Extended): Extended;
6)
函数 Cotan(const X:
Extended): Extended;
{ 1 / tan(X), X
<> 0 }
7)
函数 Secant(const X:
Extended): Extended;
{ 1 / cos(X) }
8)
函数 Cosecant(const X:
Extended): Extended;
{ 1 / sin(X) }
9)
函数 Hypot(const X, Y:
Extended): Extended;
{ Sqrt(X**2 + Y**2) }
二、
角度单位换算程序
1)
函数 RadToDeg(const
Radians: Extended): Extended; { 度数:=
弧度 *
180 / PI }
2)
函数 RadToGrad(const
Radians: Extended): Extended; {
梯度:=
弧度 *
200 / PI }
3)
函数 RadToCycle(const
Radians: Extended): Extended;{
圆周:=
弧度 /
2PI }
4)
函数DegToRad(const
Degrees: Extended): Extended; {弧度:=
度数*
PI / 180}
5)
函数DegToGrad(const
Degrees: Extended): Extended;
6)
函数DegToCycle(const
Degrees: Extended): Extended;
7)
函数GradToRad(const Grads:
Extended): Extended;
{弧度:=
梯度 *
PI / 200 }
8)
函数GradToDeg(const Grads:
Extended): Extended;
9)
函数GradToCycle(const
Grads: Extended): Extended;
10)
函数CycleToRad(const
Cycles: Extended): Extended; {弧度:=
圆周*
2PI }
11)
函数CycleToDeg(const
Cycles: Extended): Extended;
12)
函数CycleToGrad(const
Cycles: Extended): Extended;
三、双曲线函数
1)
弧度 Cot(const X:
Extended): Extended;
{
别名为Cotan }
2)
函数 Sec(const X:
Extended): Extended;
{
别名为Secant }
3)
函数 Csc(const X:
Extended): Extended;
{
别名为Cosecant }
4)
函数 Cosh(const X:
Extended): Extended;
5)
函数 Sinh(const X:
Extended): Extended;
6)
函数 Tanh(const X:
Extended): Extended;
7)
函数 CotH(const X:
Extended): Extended;
8)
函数 SecH(const X:
Extended): Extended;
9)
函数 CscH(const X:
Extended): Extended;
10)
函数 ArcCot(const X:
Extended): Extended;
{ IN: X <>
0 }
11)
函数 ArcSec(const X:
Extended): Extended;
{ IN: X
<> 0 }
12)
函数 ArcCsc(const X:
Extended): Extended;
{ IN: X
<> 0 }
13)
函数 ArcCosh(const X:
Extended): Extended;
{ IN: X
>= 1 }
14)
函数 ArcSinh(const X:
Extended): Extended;
15)
函数 ArcTanh(const X:
Extended): Extended;
{ IN: |X|
<= 1 }
16)
函数 ArcCotH(const X:
Extended): Extended;
{ IN: X <>
0 }
17)
函数 ArcSecH(const X:
Extended): Extended;
{ IN: X
<> 0 }
18)
函数 ArcCscH(const X:
Extended): Extended;
{ IN:
X <> 0 }
四、
对数函数
1)
函数 LnXP1(const X:
Extended): Extended; { Ln(X + 1),
accurate for X near zero }
2)
函数 Log10(const X:
Extended): Extended; {
基数为10的X对数}
3)
函数 Log2(const X:
Extended): Extended;
{基数为2的X对数}
4)
函数 LogN(const Base, X:
Extended): Extended;
{基数为N的X对数}
五、
指数函数
1)
函数 IntPower(const Base:
Extended; const Exponent: Integer): Extended register;
IntPower：任意基数Base的Exponent整数幂。快
2)
函数 Power(const Base,
Exponent: Extended): Extended;
Power：任意基数的任意幂；
对于分指数或|指数| >
MaxInt，
基数必须> 0.
六、
各种例程
1)
过程 Frexp(const X:
Extended; var Mantissa: Extended; var Exponent: Integer)
register;
Frexp：分离X
的尾数和指数
2)
函数 Ldexp(const X:
Extended; const P: Integer): Extended register;
Ldexp：返回
X*2^P
3)
函数 Ceil(const X:
Extended):Integer;
Ceil：最小整数>= X, |X|
< MaxInt
4)
函数 Floor(const X:
Extended): Integer;
Floor：最大整数<= X, |X| <
MaxInt
5)
函数 Poly(const X:
Extended; const Coefficients: array of Double):
Extended;
Ploy：计算一元多项式A[0] + A[1]*X + ... + A[N]*X^N
在变量为X时的值。
七、
统计函数
对于这些统计的和财政函数，普通的商业表宏名字已经写在每个函数后面的注释中
1)
函数 Mean(const Data:
array of Double): Extended；
算术平均值(AVG): SUM / N
；SUM(Data) / (High(Data) - Low(Data) + 1)
2)
函数 Sum(const Data: array
of Double): Extended register；求Double数的和
(SUM)
}
3)
函数 SumInt(const Data:
array of Integer): Integer register；求Integer数和
4)
函数 SumOfSquares(const
Data: array of Double): Extended；Double平方和
5)
过程 SumsAndSquares(const
Data: array of Double; var Sum, SumOfSquares: Extended)
register；返回Double总和、平方和
6)
函数 MinValue(const Data:
array of Double): Double；返回Double数组中最小数(MIN)
7)
函数 MinIntValue(const
Data: array of Integer): Integer；返回Integer数组中最小数(MIN)
8)
函数 Min(const A, B:
Integer): Integer; overload；返回最小整数
9)
函数 Min(const A, B:
Int64): Int64; overload；返回最小Int64数
10)
函数 Min(const A, B:
Single): Single; overload；
返回最小Single数
11)
函数 Min(const A, B:
Double): Double; overload；
返回最小Double数
12)
函数 Min(const A, B:
Extended): Extended; overload；返回最小Extended数
13)
函数 MaxValue(const Data:
array of Double): Double；返回Double数组最大数（MAX）
14)
函数 MaxIntValue(const
Data: array of Integer): Integer；返回Integer数组最大数
15)
函数 Max(const A, B:
Integer): Integer; overload；返回最大Integer数
16)
函数 Max(const A, B:
Int64): Int64; overload；返回最大Int64数
17)
函数 Max(const A, B:
Single): Single; overload；返回最大Single数
18)
函数 Max(const A, B:
Double): Double; overload；返回最大Double数
19)
函数 Max(const A, B:
Extended): Extended; overload；返回最大Extended数
20)
函数 StdDev(const Data:
array of Double): Extended；
样本标准偏差STD；
Sqrt(Variance(Data))
21)
过程 MeanAndStdDev(const
Data: array of Double; var Mean, StdDev:
Extended)；
在一次调用中计算算术平均值（Mean）和标准偏差(StdDev)
22)
函数 PopnStdDev(const
Data: array of Double): Extended；
总体标准差；Sqrt(PopnVariance(Data))
23)
函数 Variance(const Data:
array of Double): Extended；
采样方差（样品方差）；TotalVariance(Data) / (High(Data) - Low(Data))
24)
函数 PopnVariance(const
Data: array of Double): Extended；
总体方差：(VAR or VARP): TotalVariance/ N }；
TotalVariance(Data) / (High(Data) - Low(Data) +
1)
25)
函数 TotalVariance(const
Data: array of Double): Extended;
方差总合：SUM(i=1,N)[(X(i) - Mean)**2]
；SumSquares - Sqr(Sum)/(High(Data) - Low(Data) +
1)
26)
函数 Norm(const Data:
array of Double): Extended;
欧几里得L2-范数Sqrt(SumOfSquares) }
27)
过程 MomentSkewKurtosis(const Data: array of Double; var M1, M2,
M3, M4, Skew, Kurtosis: Extended);
MomentSkewKurtosis:：计算统计分解的核心因数
M1：平均值（Mean）
M2：方差（Variance）
Skew：反映分布的对称性[M3 / (M2**(3/2))]
Kurtosis：反映分布的平坦性[M4 / Sqr(M2)]
28)
函数 RandG(Mean, StdDev:
Extended): Extended;
RandG：产生一个随机数，随机数符合正态分布于Mean数附近，用于模拟数据抽取样品误差
八、
普通/混杂函数
1.
极端测试：
1)
函数 IsNan(const AValue:
Double): Boolean; overload;
比如infinity, NaN
双精度值有7FF指数,
而且NaN
值有不为0的分数域
2)
函数 IsNan(const AValue:
Single): Boolean; overload;
3)
函数 IsNan(const AValue:
Extended): Boolean; overload;
4)
函数 IsInfinite(const
AValue: Double): Boolean;
比如
NaN,
一个infinity
双精度值有一个7FF指数,
但是infinity
值有一个0分数域（have a fraction field of
0）。Infinity
值能够在最高符号位被指定为正数或负数
2.
简单符号测试
type
TValueSign = -1..1;
const
NegativeValue = Low(TValueSign);
ZeroValue = 0;
PositiveValue = High(TValueSign);
1)
函数 Sign(const AValue:
Integer): TValueSign; overload;
2)
函数 Sign(const AValue:
Int64): TValueSign; overload;
3)
函数 Sign(const AValue:
Double): TValueSign; overload;
3.
浮点数比较
CompareFloat
和 SameFloa）如果epsilon没有给出或者是0，那将试图以一个当前浮点数类型相匹配的误差来计算比较。
1)
函数 CompareValue(const A,
B: Extended; Epsilon: Extended = 0): TValueRelationship;
overload;
2)
函数 CompareValue(const A,
B: Double; Epsilon: Double = 0): TValueRelationship;
overload;
3)
函数 CompareValue(const A,
B: Single; Epsilon: Single = 0): TValueRelationship;
overload;
4)
函数 CompareValue(const A,
B: Integer): TValueRelationship; overload;
5)
函数 CompareValue(const A,
B: Int64): TValueRelationship; overload;
6)
函数 SameValue(const A, B:
Extended; Epsilon: Extended = 0): Boolean; overload;
7)
函数 SameValue(const A, B:
Double; Epsilon: Double = 0): Boolean; overload;
8)
函数 SameValue(const A, B:
Single; Epsilon: Single = 0): Boolean; overload;
4.
零测试
IsZero:
若值为0（或者是非常非常接近于0）则返回“真”
1)
函数 IsZero(const A:
Extended; Epsilon: Extended = 0): Boolean; overload;
2)
函数 IsZero(const A:
Double; Epsilon: Double = 0): Boolean; overload;
3)
函数 IsZero(const A:
Single; Epsilon: Single = 0): Boolean; overload;
5.
简单易用的条件函数
1)
函数 IfThen(AValue:
Boolean; const ATrue: Integer; const AFalse: Integer = 0): Integer;
overload;
2)
函数 IfThen(AValue:
Boolean; const ATrue: Int64; const AFalse: Int64 = 0): Int64;
overload;
3)
函数 IfThen(AValue:
Boolean; const ATrue: Double; const AFalse: Double = 0.0): Double;
overload;
6.
各种随机函数
1)
函数 RandomRange(const
AFrom, ATo: Integer): Integer;
2)
函数 RandomFrom(const
AValues: array of Integer): Integer; overload;
3)
函数 RandomFrom(const
AValues: array of Int64): Int64; overload;
4)
函数 RandomFrom(const
AValues: array of Double): Double; overload;
7.
范围测试函数
1)
函数 InRange(const AValue,
AMin, AMax: Integer): Boolean; overload;
2)
函数 InRange(const AValue,
AMin, AMax: Int64): Boolean; overload;
3)
函数 InRange(const AValue,
AMin, AMax: Double): Boolean; overload;
8.
范围切断函数
1)
函数 EnsureRange(const
AValue, AMin, AMax: Integer): Integer; overload;
2)
函数 EnsureRange(const
AValue, AMin, AMax: Int64): Int64; overload;
3)
函数 EnsureRange(const
AValue, AMin, AMax: Double): Double; overload;
9.
16位整数除法一次调用得出结果和余数
1)
过程 DivMod(Dividend:
Integer; Divisor: Word; var Result, Remainder: Word);
10.
圆整到特殊数字或10的幂
ADigit
在37
到-37范围之中，下面是一些示例
3 = 10^3 = 1000 =
thousand's place
2 = 10^2 = 100 =
hundred's place
1 = 10^1 =
10 =
ten's place
-1 = 10^-1 = 1/10 =
tenth's place
-2 = 10^-2 = 1/100 = hundredth's
place
-3 = 10^-3 = 1/1000 = thousandth's place }
type
TRoundToRange = -37..37;
1)
函数 RoundTo(const AValue:
Double; const ADigit: TRoundToRange): Double;
RoundTo函数的变量遵循不对称算术舍入运算法则（如果Frac(X) <
0.5则返回X否则返回X+1）。其缺省凑整到1/100。
2)
函数 SimpleRoundTo(const
AValue: Double; const ADigit: TRoundToRange = -2):
Double;
九、
金融函数，
遵循Quattro Pro标准,参数约定概念。金钱收入为正，金钱支出为负
(举例来说，借款人偿还贷款则借款人为负)。利率是有支付周期，11%的年度利率，相当于每个月(11 / 100) / 12 =
0.00916667
type
TPaymentTime = (ptEndOfPeriod, ptStartOfPeriod);
1)
函数 DoubleDecliningBalance(const Cost, Salvage: Extended; Life,
Period: Integer): Extended;
{ Double Declining Balance (DDB) }
2)
函数 FutureValue(const
Rate: Extended; NPeriods: Integer; const Payment, PresentValue:
Extended; PaymentTime: TPaymentTime): Extended;
未来值（终值(FVAL）)
3)
函数
InterestPayment(const Rate:
Extended; Period, NPeriods: Integer; const PresentValue,
FutureValue: Extended; PaymentTime: TPaymentTime): Extended;
利息收入(IPAYMT)
4)
函数
InterestRate(NPeriods: Integer;
const Payment, PresentValue, FutureValue: Extended; PaymentTime:
TPaymentTime): Extended;
利率(IRATE)
5)
函数
InternalRateOfReturn(const
Guess: Extended; const CashFlows: array of Double):
Extended;
内部盈利率（利润率）（Internal Rate of Return. (IRR)）需要现金流数组
6)
函数
NumberOfPeriods(const Rate:
Extended; Payment: Extended; const PresentValue, FutureValue:
Extended; PaymentTime: TPaymentTime): Extended;
周期数{
Number of Periods (NPER) }
7)
函数
NetPresentValue(const Rate:
Extended; const CashFlows: array of Double; PaymentTime:
TPaymentTime): Extended;
现在净价值，纯现值（Net Present Value. (NPV),需要现金流数组
8)
函数
Payment(Rate: Extended;
NPeriods: Integer; const PresentValue, FutureValue: Extended;
PaymentTime: TPaymentTime): Extended;
支出 { Payment (PAYMT) }
9)
函数
PeriodPayment(const Rate:
Extended; Period, NPeriods: Integer; const PresentValue,
FutureValue: Extended; PaymentTime: TPaymentTime):
Extended;
支付周期{ Period Payment (PPAYMT) }
10)
函数 PresentValue(const
Rate: Extended; NPeriods: Integer; const Payment, FutureValue:
Extended; PaymentTime: TPaymentTime): Extended;
现值{
Present Value (PVAL) }
11)
函数 SLNDepreciation(const
Cost, Salvage: Extended; Life: Integer): Extended;
直线折旧{ Straight Line depreciation (SLN) }
12)
函数 SYDDepreciation(const
Cost, Salvage: Extended; Life, Period: Integer):
Extended;
折旧{
Sum-of-Years-Digits depreciation (SYD) }
十、FPU
异常/精度/舍入管理
以下函数允许你控制FPU行为。控制FPU异常处理，FPU默认精度设置，FPU怎样舍入控制
type
TFPURoundingMode = (rmNearest, rmDown, rmUp,
rmTruncate);
1)
函数 GetRoundMode:
TFPURoundingMode;
返回当前舍入模式
2)
函数
SetRoundMode(const RoundMode:
TFPURoundingMode): TFPURoundingMode;
设置新的舍入模式并且返回旧的模式
type
TFPUPrecisionMode = (pmSingle, pmReserved, pmDouble,
pmExtended);
3)
函数
GetPrecisionMode:
TFPUPrecisionMode;
返回当前精度控制模式
4)
函数
SetPrecisionMode(const
Precision: TFPUPrecisionMode): TFPUPrecisionMode;
设置新的精度控制模式并且返回旧的模式
type
TFPUException = (exInvalidOp, exDenormalized,
exZeroDivide,
exOverflow, exUnderflow, exPrecision);
TFPUExceptionMask = set of TFPUException;
掩码中任何元素设置防止FPU产生各种异常。它企图返回一个最好的数值，经常是NaN
或 infinity。数值依靠运算和当前的舍入模式
5)
函数
GetExceptionMask:
TFPUExceptionMask;
从控制字中返回异常掩码
6)
函数
SetExceptionMask(const Mask:
TFPUExceptionMask): TFPUExceptionMask;
设置新的异常掩码并返回旧的
7)
过程
ClearExceptions(RaisePending:
Boolean = True);
清除状态字中任何未定的异常位