高精度模板(综合篇)

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在这里，我们约定，能用int表示的数据视为单精度，否则为高精度。所有函数的设计均采用带返回值的形式。

本文包含

1.高精度加法

2.高精度减法

3.高精度乘法

1）高精度乘高精度的朴素算法

2）高精度乘高精度FFT优化算法

3）高精度乘单精度

4.高精度除法

1）高精度除高精度

2）高精度除单精度

5.高精度取模

1）高精度对高精度取模

2）高精度对单精度取模

6.高精度阶乘

7.高精度幂

8.高精度GCD

9.高精度进制转换

10.高精度求平方根

下面切入正题

1.高精度加法

传入参数约定：传入参数均为string类型，返回值为string类型

算法思想：倒置相加再还原。

算法复杂度：o(n)

 1 string add(string a,string b)//只限两个非负整数相加
 2 {
 3     const int L=1e5;
 4     string ans;
 5     int na[L]={0},nb[L]={0};
 6     int la=a.size(),lb=b.size();
 7     for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
 8     for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
 9     int lmax=la>lb?la:lb;
10     for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10;
11     if(na[lmax]) lmax++;
12     for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
13     return ans;
14 }

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2.高精度减法

传入参数约定：传入参数均为string类型，返回值为string类型

算法思想：倒置相减再还原。

算法复杂度：o(n)

 1 string sub(string a,string b)//只限大的非负整数减小的非负整数
 2 {
 3     const int L=1e5;
 4     string ans;
 5     int na[L]={0},nb[L]={0};
 6     int la=a.size(),lb=b.size();
 7     for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
 8     for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
 9     int lmax=la>lb?la:lb;
10     for(int i=0;i<lmax;i++)
11     {
12         na[i]-=nb[i];
13         if(na[i]<0) na[i]+=10,na[i+1]--;
14     }
15     while(!na[--lmax]&&lmax>0)  ;lmax++;
16     for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
17     return ans;
18 }

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3.高精度乘法

1）高精度乘高精度的朴素算法

传入参数约定：传入参数均为string类型，返回值为string类型

算法思想：倒置相乘，然后统一处理进位，再还原。

算法复杂度：o(n^2)

 1 string mul(string a,string b)//高精度乘法a,b,均为非负整数
 2 {
 3     const int L=1e5;
 4     string s;
 5     int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存储被乘数，nb存储乘数，nc存储积
 6     fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//将na,nb,nc都置为0
 7     for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//将字符串表示的大整形数转成i整形数组表示的大整形数
 8     for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0';
 9     for(int i=1;i<=La;i++)
10         for(int j=1;j<=Lb;j++)
11         nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位为积的第i+j-1位（先不考虑进位）
12     for(int i=1;i<=La+Lb;i++)
13         nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//统一处理进位
14     if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判断第i+j位上的数字是不是0
15     for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--)
16         s+=nc[i]+'0';//将整形数组转成字符串
17     return s;
18 }

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2）高精度乘高精度FFT优化算法

传入参数约定：传入参数均为string类型，返回值为string类型

算法思想：将两个高精度乘数每个数位上的数视为多项式对应的系数，用o(n*log(n))的复杂度转成点值形式，再利用o(n)的复杂度相乘，最后对点值进行差值，用o(n*log(n))的复杂度还原成多项式的形式，即原来的形式。

算法复杂度：o(n*log(n))

  1 #include <iostream>
  2 #include <cstdio>
  3 #include <algorithm>
  4 #include <cstring>
  5 #include <cmath>
  6 #include <map>
  7 #include <queue>
  8 #include <set>
  9 #include <vector>
 10 using namespace std;
 11 #define L(x) (1 << (x))
 12 const double PI = acos(-1.0);
 13 const int Maxn = 133015;
 14 double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn];
 15 char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2];
 16 int sum[Maxn];
 17 int x1[Maxn],x2[Maxn];
 18 int revv(int x, int bits)
 19 {
 20     int ret = 0;
 21     for (int i = 0; i < bits; i++)
 22     {
 23         ret <<= 1;
 24         ret |= x & 1;
 25         x >>= 1;
 26     }
 27     return ret;
 28 }
 29 void fft(double * a, double * b, int n, bool rev)
 30 {
 31     int bits = 0;
 32     while (1 << bits < n) ++bits;
 33     for (int i = 0; i < n; i++)
 34     {
 35         int j = revv(i, bits);
 36         if (i < j)
 37             swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]);
 38     }
 39     for (int len = 2; len <= n; len <<= 1)
 40     {
 41         int half = len >> 1;
 42         double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len);
 43         if (rev) wmy = -wmy;
 44         for (int i = 0; i < n; i += len)
 45         {
 46             double wx = 1, wy = 0;
 47             for (int j = 0; j < half; j++)
 48             {
 49                 double cx = a[i + j], cy = b[i + j];
 50                 double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half];
 51                 double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx;
 52                 a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey;
 53                 a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey;
 54                 double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx;
 55                 wx = wnx, wy = wny;
 56             }
 57         }
 58     }
 59     if (rev)
 60     {
 61         for (int i = 0; i < n; i++)
 62             a[i] /= n, b[i] /= n;
 63     }
 64 }
 65 int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[])
 66 {
 67     int len = max(na, nb), ln;
 68     for(ln=0; L(ln)<len; ++ln);
 69     len=L(++ln);
 70     for (int i = 0; i < len ; ++i)
 71     {
 72         if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0;
 73         else ax[i] = a[i], ay[i] = 0;
 74     }
 75     fft(ax, ay, len, 0);
 76     for (int i = 0; i < len; ++i)
 77     {
 78         if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0;
 79         else bx[i] = b[i], by[i] = 0;
 80     }
 81     fft(bx, by, len, 0);
 82     for (int i = 0; i < len; ++i)
 83     {
 84         double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i];
 85         double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i];
 86         ax[i] = cx, ay[i] = cy;
 87     }
 88     fft(ax, ay, len, 1);
 89     for (int i = 0; i < len; ++i)
 90         ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5);
 91     return len;
 92 }
 93 string mul(string sa,string sb)
 94 {
 95     int l1,l2,l;
 96     int i;
 97     string ans;
 98     memset(sum, 0, sizeof(sum));
 99     l1 = sa.size();
100     l2 = sb.size();
101     for(i = 0; i < l1; i++)
102         x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0';
103     for(i = 0; i < l2; i++)
104         x2[i] = sb[l2-i-1]-'0';
105     l = solve(x1, l1, x2, l2, sum);
106     for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++) // 进位
107     {
108         sum[i + 1] += sum[i] / 10;
109         sum[i] %= 10;
110     }
111     l = i;
112     while(sum[l] <= 0 && l>0)    l--; // 检索最高位
113     for(i = l; i >= 0; i--)    ans+=sum[i] + '0'; // 倒序输出
114     return ans;
115 }
116 int main()
117 {
118     cin.sync_with_stdio(false);
119     string a,b;
120     while(cin>>a>>b) cout<<mul(a,b)<<endl;
121     return 0;
122 }

太长，还没看

3）高精度乘单精度

传入参数约定：传入第一个参数为string类型，，第二个参数为int型，返回值为string类型

算法思想：倒置相乘，然后统一处理进位，再还原。

算法复杂度：o(n)

 1 string mul(string a,int b)//高精度a乘单精度b
 2 {
 3     const int L=100005;
 4     int na[L];
 5     string ans;
 6     int La=a.size();
 7     fill(na,na+L,0);
 8     for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i-1]=a[i]-'0';
 9     int w=0;
10     for(int i=0;i<La;i++) na[i]=na[i]*b+w,w=na[i]/10,na[i]=na[i]%10;
11     while(w) na[La++]=w%10,w/=10;
12     La--;
13     while(La>=0) ans+=na[La--]+'0';
14     return ans;
15 }

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4.高精度除法

1）高精度除高精度

传入参数约定：传入第一第二个参数均为string类型，第三个为int型，返回值为string类型

算法思想：倒置，试商，高精度减法。

算法复杂度：o(n^2)

 1 int sub(int *a,int *b,int La,int Lb)
 2 {
 3     if(La<Lb) return -1;//如果a小于b，则返回-1
 4     if(La==Lb)
 5     {
 6         for(int i=La-1;i>=0;i--)
 7             if(a[i]>b[i]) break;
 8             else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小于b，则返回-1
 9  
10     }
11     for(int i=0;i<La;i++)//高精度减法
12     {
13         a[i]-=b[i];
14         if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--;
15     }
16     for(int i=La-1;i>=0;i--)
17         if(a[i]) return i+1;//返回差的位数
18     return 0;//返回差的位数
19  
20 }
21 string div(string n1,string n2,int nn)
22 //n1,n2是字符串表示的被除数，除数,nn是选择返回商还是余数
23 {
24     const int L=1e5;
25     string s,v;//s存商,v存余数
26      int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;
27      //a，b是整形数组表示被除数，除数，tp保存被除数的长度
28      fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//数组元素都置为0
29      for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0';
30      for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0';
31      if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) {
32             //cout<<0<<endl;
33      return n1;}//如果a<b,则商为0，余数为被除数
34      int t=La-Lb;//除被数和除数的位数之差
35      for(int i=La-1;i>=0;i--)//将除数扩大10^t倍
36         if(i>=t) b[i]=b[i-t];
37         else b[i]=0;
38      Lb=La;
39      for(int j=0;j<=t;j++)
40      {
41          int temp;
42          while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除数比除数大继续减
43          {
44              La=temp;
45              r[t-j]++;
46          }
47      }
48      for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//统一处理进位
49      while(!r[i]) i--;//将整形数组表示的商转化成字符串表示的
50      while(i>=0) s+=r[i--]+'0';
51      //cout<<s<<endl;
52      i=tp;
53      while(!a[i]) i--;//将整形数组表示的余数转化成字符串表示的</span>
54      while(i>=0) v+=a[i--]+'0';
55      if(v.empty()) v="0";
56      //cout<<v<<endl;
57      if(nn==1) return s;//返回商 
58      if(nn==2) return v;//返回余数 
59 }

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2）高精度除单精度

传入参数约定：传入第一参数为string类型，第二个为int型，返回值为string类型

算法思想：模拟手工除法。

算法复杂度：o(n)

 1 string div(string a,int b)//高精度a除以单精度b
 2 {
 3     string r,ans;
 4     int d=0;
 5     if(a=="0") return a;//特判
 6     for(int i=0;i<a.size();i++)
 7     {
 8             r+=(d*10+a[i]-'0')/b+'0';//求出商
 9             d=(d*10+(a[i]-'0'))%b;//求出余数
10     }
11     int p=0;
12     for(int i=0;i<r.size();i++)
13     if(r[i]!='0') {p=i;break;}
14     return r.substr(p);
15 }

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5.高精度取模

1）高精度对高精度取模(以在高精度除高精度中实现，此处不再赘述)

2）高精度对单精度取模

传入参数约定：传入第一参数为string类型，第二个为int型，返回值为string类型

算法思想：利用(a+b)%c=a%c+b%c。

算法复杂度：o(n)

1 int mod(string a,int b)//高精度a除以单精度b
2 {
3     int d=0;
4     for(int i=0;i<a.size();i++) d=(d*10+(a[i]-'0'))%b;//求出余数
5     return d;
6 }

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6.高精度阶乘

传入参数约定：传入参数为int型，返回值为string类型

算法思想：高精度乘单精度的简单运用。

算法复杂度：o(n^2)

 1 string fac(int n)
 2 {
 3     const int L=100005;
 4     int a[L];
 5     string ans;
 6     if(n==0) return "1";
 7     fill(a,a+L,0);
 8     int s=0,m=n;
 9     while(m) a[++s]=m%10,m/=10;
10     for(int i=n-1;i>=2;i--)
11     {
12         int w=0;
13         for(int j=1;j<=s;j++) a[j]=a[j]*i+w,w=a[j]/10,a[j]=a[j]%10;
14         while(w) a[++s]=w%10,w/=10;
15     }
16     while(!a[s]) s--;
17     while(s>=1) ans+=a[s--]+'0';
18     return ans;
19 }

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7.高精度幂

传入参数约定：传入第一参数为string类型，第二个为int型，返回值为string类型

算法思想：FFT高精乘+二分求幂。

算法复杂度：o(n*log(n)*log(m))

  1 #define L(x) (1 << (x))
  2 const double PI = acos(-1.0);
  3 const int Maxn = 133015;
  4 double ax[Maxn], ay[Maxn], bx[Maxn], by[Maxn];
  5 char sa[Maxn/2],sb[Maxn/2];
  6 int sum[Maxn];
  7 int x1[Maxn],x2[Maxn];
  8 int revv(int x, int bits)
  9 {
 10     int ret = 0;
 11     for (int i = 0; i < bits; i++)
 12     {
 13         ret <<= 1;
 14         ret |= x & 1;
 15         x >>= 1;
 16     }
 17     return ret;
 18 }
 19 void fft(double * a, double * b, int n, bool rev)
 20 {
 21     int bits = 0;
 22     while (1 << bits < n) ++bits;
 23     for (int i = 0; i < n; i++)
 24     {
 25         int j = revv(i, bits);
 26         if (i < j)
 27             swap(a[i], a[j]), swap(b[i], b[j]);
 28     }
 29     for (int len = 2; len <= n; len <<= 1)
 30     {
 31         int half = len >> 1;
 32         double wmx = cos(2 * PI / len), wmy = sin(2 * PI / len);
 33         if (rev) wmy = -wmy;
 34         for (int i = 0; i < n; i += len)
 35         {
 36             double wx = 1, wy = 0;
 37             for (int j = 0; j < half; j++)
 38             {
 39                 double cx = a[i + j], cy = b[i + j];
 40                 double dx = a[i + j + half], dy = b[i + j + half];
 41                 double ex = dx * wx - dy * wy, ey = dx * wy + dy * wx;
 42                 a[i + j] = cx + ex, b[i + j] = cy + ey;
 43                 a[i + j + half] = cx - ex, b[i + j + half] = cy - ey;
 44                 double wnx = wx * wmx - wy * wmy, wny = wx * wmy + wy * wmx;
 45                 wx = wnx, wy = wny;
 46             }
 47         }
 48     }
 49     if (rev)
 50     {
 51         for (int i = 0; i < n; i++)
 52             a[i] /= n, b[i] /= n;
 53     }
 54 }
 55 int solve(int a[],int na,int b[],int nb,int ans[])
 56 {
 57     int len = max(na, nb), ln;
 58     for(ln=0; L(ln)<len; ++ln);
 59     len=L(++ln);
 60     for (int i = 0; i < len ; ++i)
 61     {
 62         if (i >= na) ax[i] = 0, ay[i] =0;
 63         else ax[i] = a[i], ay[i] = 0;
 64     }
 65     fft(ax, ay, len, 0);
 66     for (int i = 0; i < len; ++i)
 67     {
 68         if (i >= nb) bx[i] = 0, by[i] = 0;
 69         else bx[i] = b[i], by[i] = 0;
 70     }
 71     fft(bx, by, len, 0);
 72     for (int i = 0; i < len; ++i)
 73     {
 74         double cx = ax[i] * bx[i] - ay[i] * by[i];
 75         double cy = ax[i] * by[i] + ay[i] * bx[i];
 76         ax[i] = cx, ay[i] = cy;
 77     }
 78     fft(ax, ay, len, 1);
 79     for (int i = 0; i < len; ++i)
 80         ans[i] = (int)(ax[i] + 0.5);
 81     return len;
 82 }
 83 string mul(string sa,string sb)
 84 {
 85     int l1,l2,l;
 86     int i;
 87     string ans;
 88     memset(sum, 0, sizeof(sum));
 89     l1 = sa.size();
 90     l2 = sb.size();
 91     for(i = 0; i < l1; i++)
 92         x1[i] = sa[l1 - i - 1]-'0';
 93     for(i = 0; i < l2; i++)
 94         x2[i] = sb[l2-i-1]-'0';
 95     l = solve(x1, l1, x2, l2, sum);
 96     for(i = 0; i<l || sum[i] >= 10; i++) // 进位
 97     {
 98         sum[i + 1] += sum[i] / 10;
 99         sum[i] %= 10;
100     }
101     l = i;
102     while(sum[l] <= 0 && l>0)    l--; // 检索最高位
103     for(i = l; i >= 0; i--)    ans+=sum[i] + '0'; // 倒序输出
104     return ans;
105 }
106 string Pow(string a,int n)
107 {
108     if(n==1) return a;
109     if(n&1) return mul(Pow(a,n-1),a);
110     string ans=Pow(a,n/2);
111     return mul(ans,ans);
112 }

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8.高精度GCD

传入参数约定：传入参数均为string类型，返回值为string类型

算法思想：高精度加减乘除的运用。

算法复杂度：已无法估计。

  1 string add(string a,string b)
  2 {
  3     const int L=1e5;
  4     string ans;
  5     int na[L]={0},nb[L]={0};
  6     int la=a.size(),lb=b.size();
  7     for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
  8     for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
  9     int lmax=la>lb?la:lb;
 10     for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10;
 11     if(na[lmax]) lmax++;
 12     for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
 13     return ans;
 14 }
 15 string mul(string a,string b)
 16 {
 17     const int L=1e5;
 18     string s;
 19     int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存储被乘数，nb存储乘数，nc存储积
 20     fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//将na,nb,nc都置为0
 21     for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//将字符串表示的大整形数转成i整形数组表示的大整形数
 22     for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0';
 23     for(int i=1;i<=La;i++)
 24         for(int j=1;j<=Lb;j++)
 25         nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位为积的第i+j-1位（先不考虑进位）
 26     for(int i=1;i<=La+Lb;i++)
 27         nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//统一处理进位
 28     if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判断第i+j位上的数字是不是0
 29     for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--)
 30         s+=nc[i]+'0';//将整形数组转成字符串
 31     return s;
 32 }
 33 int sub(int *a,int *b,int La,int Lb)
 34 {
 35     if(La<Lb) return -1;//如果a小于b，则返回-1
 36     if(La==Lb)
 37     {
 38         for(int i=La-1;i>=0;i--)
 39             if(a[i]>b[i]) break;
 40             else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小于b，则返回-1
 41  
 42     }
 43     for(int i=0;i<La;i++)//高精度减法
 44     {
 45         a[i]-=b[i];
 46         if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--;
 47     }
 48     for(int i=La-1;i>=0;i--)
 49         if(a[i]) return i+1;//返回差的位数
 50     return 0;//返回差的位数
 51  
 52 }
 53 string div(string n1,string n2,int nn)//n1,n2是字符串表示的被除数，除数,nn是选择返回商还是余数
 54 {
 55     const int L=1e5;
 56     string s,v;//s存商,v存余数
 57      int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;//a，b是整形数组表示被除数，除数，tp保存被除数的长度
 58      fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//数组元素都置为0
 59      for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0';
 60      for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0';
 61      if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) {
 62             //cout<<0<<endl;
 63      return n1;}//如果a<b,则商为0，余数为被除数
 64      int t=La-Lb;//除被数和除数的位数之差
 65      for(int i=La-1;i>=0;i--)//将除数扩大10^t倍
 66         if(i>=t) b[i]=b[i-t];
 67         else b[i]=0;
 68      Lb=La;
 69      for(int j=0;j<=t;j++)
 70      {
 71          int temp;
 72          while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除数比除数大继续减
 73          {
 74              La=temp;
 75              r[t-j]++;
 76          }
 77      }
 78      for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//统一处理进位
 79      while(!r[i]) i--;//将整形数组表示的商转化成字符串表示的
 80      while(i>=0) s+=r[i--]+'0';
 81      //cout<<s<<endl;
 82      i=tp;
 83      while(!a[i]) i--;//将整形数组表示的余数转化成字符串表示的</span>
 84      while(i>=0) v+=a[i--]+'0';
 85      if(v.empty()) v="0";
 86      //cout<<v<<endl;
 87      if(nn==1) return s;
 88      if(nn==2) return v;
 89 }
 90 bool judge(string s)//判断s是否为全0串
 91 {
 92     for(int i=0;i<s.size();i++)
 93         if(s[i]!='0') return false;
 94     return true;
 95 }
 96 string gcd(string a,string b)//求最大公约数
 97 {
 98     string t;
 99     while(!judge(b))//如果余数不为0，继续除
100     {
101         t=a;//保存被除数的值
102         a=b;//用除数替换被除数
103         b=div(t,b,2);//用余数替换除数
104     }
105     return a;
106 }

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9.高精度进制转换

传入参数约定：传入第一个参数为string类型，第二第三均为int型，返回值为string类型

算法思想：模拟手工进制转换。

算法复杂度：o(n^2)。

 1 //将字符串表示的10进制大整数转换为m进制的大整数
 2 //并返回m进制大整数的字符串
 3 bool judge(string s)//判断串是否为全零串
 4 {
 5     for(int i=0;i<s.size();i++)
 6         if(s[i]!='0') return 1;
 7     return 0;
 8 }
 9 string solve(string s,int n,int m)//n进制转m进制只限0-9进制，若涉及带字母的进制，稍作修改即可
10 {
11     string r,ans;
12     int d=0;
13     if(!judge(s)) return "0";//特判
14     while(judge(s))//被除数不为0则继续
15     {
16         for(int i=0;i<s.size();i++)
17         {
18             r+=(d*n+s[i]-'0')/m+'0';//求出商
19             d=(d*n+(s[i]-'0'))%m;//求出余数
20         }
21        s=r;//把商赋给下一次的被除数
22        r="";//把商清空
23         ans+=d+'0';//加上进制转换后数字
24         d=0;//清空余数
25     }
26     reverse(ans.begin(),ans.end());//倒置下
27     return ans;
28 }

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10.高精度求平方根

思路就是二分+高精度加减乘除法

设数的长度为n，则需二分log(2,10^n)次即n*log(2,10) 约等于n*3.3，由于数的长度为n，朴素高精度乘法复杂度为o(n^2)。故朴素算法求解高精度平方根复杂度为O(n^3)

当然，你也可以用FFT优化下高精度乘法。

下面的代码实现了求大整数平方根的整数部分。

  1 const int L=2015;
  2 string add(string a,string b)//只限两个非负整数相加
  3 {
  4     string ans;
  5     int na[L]={0},nb[L]={0};
  6     int la=a.size(),lb=b.size();
  7     for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
  8     for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
  9     int lmax=la>lb?la:lb;
 10     for(int i=0;i<lmax;i++) na[i]+=nb[i],na[i+1]+=na[i]/10,na[i]%=10;
 11     if(na[lmax]) lmax++;
 12     for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
 13     return ans;
 14 }
 15 string sub(string a,string b)//只限大的非负整数减小的非负整数
 16 {
 17     string ans;
 18     int na[L]={0},nb[L]={0};
 19     int la=a.size(),lb=b.size();
 20     for(int i=0;i<la;i++) na[la-1-i]=a[i]-'0';
 21     for(int i=0;i<lb;i++) nb[lb-1-i]=b[i]-'0';
 22     int lmax=la>lb?la:lb;
 23     for(int i=0;i<lmax;i++)
 24     {
 25         na[i]-=nb[i];
 26         if(na[i]<0) na[i]+=10,na[i+1]--;
 27     }
 28     while(!na[--lmax]&&lmax>0)  ;lmax++;
 29     for(int i=lmax-1;i>=0;i--) ans+=na[i]+'0';
 30     return ans;
 31 }
 32 string mul(string a,string b)//高精度乘法a,b,均为非负整数
 33 {
 34     string s;
 35     int na[L],nb[L],nc[L],La=a.size(),Lb=b.size();//na存储被乘数，nb存储乘数，nc存储积
 36     fill(na,na+L,0);fill(nb,nb+L,0);fill(nc,nc+L,0);//将na,nb,nc都置为0
 37     for(int i=La-1;i>=0;i--) na[La-i]=a[i]-'0';//将字符串表示的大整形数转成i整形数组表示的大整形数
 38     for(int i=Lb-1;i>=0;i--) nb[Lb-i]=b[i]-'0';
 39     for(int i=1;i<=La;i++)
 40         for(int j=1;j<=Lb;j++)
 41         nc[i+j-1]+=na[i]*nb[j];//a的第i位乘以b的第j位为积的第i+j-1位（先不考虑进位）
 42     for(int i=1;i<=La+Lb;i++)
 43         nc[i+1]+=nc[i]/10,nc[i]%=10;//统一处理进位
 44     if(nc[La+Lb]) s+=nc[La+Lb]+'0';//判断第i+j位上的数字是不是0
 45     for(int i=La+Lb-1;i>=1;i--)
 46         s+=nc[i]+'0';//将整形数组转成字符串
 47     return s;
 48 }
 49 int sub(int *a,int *b,int La,int Lb)
 50 {
 51     if(La<Lb) return -1;//如果a小于b，则返回-1
 52     if(La==Lb)
 53     {
 54         for(int i=La-1;i>=0;i--)
 55             if(a[i]>b[i]) break;
 56             else if(a[i]<b[i]) return -1;//如果a小于b，则返回-1
 57  
 58     }
 59     for(int i=0;i<La;i++)//高精度减法
 60     {
 61         a[i]-=b[i];
 62         if(a[i]<0) a[i]+=10,a[i+1]--;
 63     }
 64     for(int i=La-1;i>=0;i--)
 65         if(a[i]) return i+1;//返回差的位数
 66     return 0;//返回差的位数
 67  
 68 }
 69 string div(string n1,string n2,int nn)//n1,n2是字符串表示的被除数，除数,nn是选择返回商还是余数
 70 {
 71     string s,v;//s存商,v存余数
 72      int a[L],b[L],r[L],La=n1.size(),Lb=n2.size(),i,tp=La;//a，b是整形数组表示被除数，除数，tp保存被除数的长度
 73      fill(a,a+L,0);fill(b,b+L,0);fill(r,r+L,0);//数组元素都置为0
 74      for(i=La-1;i>=0;i--) a[La-1-i]=n1[i]-'0';
 75      for(i=Lb-1;i>=0;i--) b[Lb-1-i]=n2[i]-'0';
 76      if(La<Lb || (La==Lb && n1<n2)) {
 77             //cout<<0<<endl;
 78      return n1;}//如果a<b,则商为0，余数为被除数
 79      int t=La-Lb;//除被数和除数的位数之差
 80      for(int i=La-1;i>=0;i--)//将除数扩大10^t倍
 81         if(i>=t) b[i]=b[i-t];
 82         else b[i]=0;
 83      Lb=La;
 84      for(int j=0;j<=t;j++)
 85      {
 86          int temp;
 87          while((temp=sub(a,b+j,La,Lb-j))>=0)//如果被除数比除数大继续减
 88          {
 89              La=temp;
 90              r[t-j]++;
 91          }
 92      }
 93      for(i=0;i<L-10;i++) r[i+1]+=r[i]/10,r[i]%=10;//统一处理进位
 94      while(!r[i]) i--;//将整形数组表示的商转化成字符串表示的
 95      while(i>=0) s+=r[i--]+'0';
 96      //cout<<s<<endl;
 97      i=tp;
 98      while(!a[i]) i--;//将整形数组表示的余数转化成字符串表示的</span>
 99      while(i>=0) v+=a[i--]+'0';
100      if(v.empty()) v="0";
101      //cout<<v<<endl;
102      if(nn==1) return s;
103      if(nn==2) return v;
104 }
105 bool cmp(string a,string b)
106 {
107     if(a.size()<b.size()) return 1;//a小于等于b返回真
108     if(a.size()==b.size()&&a<=b) return 1;
109     return 0;
110 }
111 string DeletePreZero(string s)
112 {
113     int i;
114     for(i=0;i<s.size();i++)
115         if(s[i]!='0') break;
116     return s.substr(i);
117 }
118 
119 string BigInterSqrt(string n)
120 {
121     n=DeletePreZero(n);
122     string l="1",r=n,mid,ans;
123     while(cmp(l,r))
124     {
125         mid=div(add(l,r),"2",1);
126         if(cmp(mul(mid,mid),n)) ans=mid,l=add(mid,"1");
127         else r=sub(mid,"1");
128     }
129     return ans;
130 }

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