17082 两个有序数序列中找第k小（优先做） O（logn）

17082 两个有序数序列中找第k小（优先做）

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题型: 编程题   语言: G++;GCC;VC

 

Description

已知两个已经排好序（非减序）的序列X和Y，其中X的长度为m，Y长度为n，
现在请你用分治算法，找出X和Y的第k小的数，算法时间复杂度为O(max{logm, logn})。

此题请勿采用将序列X和Y合并找第k小的O(m+n)的一般方法，要充分利用X和Y已经排好序的这一特性。

输入格式

第一行有三个数，分别是长度m、长度n和k，中间空格相连（1<=m,n<=100000; 1<=k<=m+n）。
第二行m个数分别是非减序的序列X。第三行n个数分别是非减序的序列Y。

输出格式

序列X和Y的第k小的数。

 

输入样例

5 6 7
1 8 12 12 21 
4 12 20 22 26 31

 

输出样例

20

 

提示

假设：X序列为X[xBeg...xEnd]，而Y序列为Y[yBeg...yEnd]。

将序列X和Y都均分2段，即取X序列中间位置为 xMid (xMid = xBeg+(xEnd-xBeg)/2)，也同理取序列Y中间位置为yMid。
比较X[xMid]和Y[yMid]的大小，此时记录X左段和Y左段元素个数合计为halfLen，即halfLen = xMid-xBeg+yMid-yBeg+2。

1. 当X[xMid] < Y[yMid]时，在合并的数组中，原X[xBeg...xMid]所有元素一定在Y[yMid]的左侧，
   （1） 若k < halfLen，则此时第k大的元素一定不会大于Y[yMid]这个元素，
         故以后没有必要搜索 Y[yMid...yEnd]这些元素，可弃Y后半段数据。
         此时只需递归的对X序列+Y序列的前半段，去搜索第k小的数。

   （2） 若k >= halfLen，则此时第k大的元素一定不会小于X[xMid]这个元素，
         故以后没有必要搜索 X[xBeg...xMid]这些元素，可弃X前半段数据。
         此时只需递归的对X序列的后半段+Y序列，去搜索第 k-(xMid-xBeg+1）小的数。

2. 当X[xMid] >= Y[yMid]时，在合并的数组中，原Y[yBeg...yMid]的所有元素一定在X[xMid]的左侧，
   （1） 若k < halfLen，则此时第k大的元素一定不会大于X[xMid]这个元素，
         故以后没有必要搜索 X[xMid...xEnd]这些元素，可弃X后半段数据。
         此时只需递归的对X序列的前半段+Y序列，去搜索第k小的数。

   （2） 若k >= halfLen，则此时第k大的元素一定不会小于Y[yMid]这个元素，
         故以后没有必要搜索 Y[yBeg...yMid]这些元素，可弃Y前半段数据。
         此时只需递归的对X序列+Y序列的后半段，去搜索第 k-(yMid-yBeg+1）小的数。

递归的边界，如何来写？
1) if (xBeg > xEnd) return Y[yBeg + k - 1];  //X序列为空时，直接返回Y序列的第k小元素。
2) if (yBeg > yEnd) return X[xBeg + k - 1];  //Y序列为空时，直接返回X序列的第k小元素。


效率分析：

T(m,n)表示对长度为m的有序的X序列和长度为n的有序的Y序列，搜索第k小元素的复杂度。
T(m,n)=1   m=0或n=0
T(m,n) <= max{T(m/2,n), T(m,n/2)} + O(1)

则T(m,n) = O(max{logm, logn})

 

作者

 zhengchan

首先，如果a数组取a[k/2]那个值，b数组需要取b[k - k/2]那个值，这样使得两者加起来是k个，然后，如果a[k/2] > b[k - k/2]，那么b[k-k/2]肯定不会是答案，又因为递增，所以b[k-k/2]前面的可以不用考虑了，直接把这部分pass掉。同理其他。

注意的是，每次都需要在比较短的那个数组里面取值，再去长度大的那个数组里面找k - k/2

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
#define inf (0x3f3f3f3f)
typedef long long int LL;
const int maxn = 1e5 + 20;
int a[maxn], b[maxn];

int findkthMin(int aBe, int aEn, int bBe, int bEn, int k) {
    if (aEn < aBe) return b[bBe + k - 1];
    if (bEn < bBe) return a[aBe + k - 1];
    if (k == 1) return min(a[aBe], b[bBe]);
    if (aEn - aBe < bEn - bBe) {
        int asel = min(k / 2, aEn - aBe + 1), bsel = k - asel;
        int posa = aBe + asel - 1, posb = bBe + bsel - 1;
        if (a[posa] == b[posb]) return a[posa];
        if (a[posa] < b[posb]) return findkthMin(posa + 1, aEn, bBe, bEn, k - asel);
        if (a[posa] > b[posb]) return findkthMin(aBe, aEn, posb + 1, bEn, k - bsel);
    } else {
        int bsel = min(k / 2, bEn - bBe + 1), asel = k - bsel;
        int posa = aBe + asel - 1, posb = bBe + bsel - 1;
        if (a[posa] == b[posb]) return a[posa];
        if (a[posa] < b[posb]) return findkthMin(posa + 1, aEn, bBe, bEn, k - asel);
        if (a[posa] > b[posb]) return findkthMin(aBe, aEn, posb + 1, bEn, k - bsel);
    }
}

void work() {
    int n, m, k;
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
    for (int j = 1; j <= m; ++j) cin >> b[j];
//    printf("%d
", find_kth(a, n, b, m, k));
    printf("%d
", findkthMin(1, n, 1, m, k));
}

int main() {
#ifdef local
    freopen("data.txt", "r", stdin);
//    freopen("data.txt", "w", stdout);
#endif
    work();
    return 0;
}