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• 题意

  给定一个长为 (n) 的序列 ({a}) ，支持：

  1. 单点修改。
  2. 查询区间 ([l,r]) 最大值小于等于 (x) 的子区间个数。

  (n,mle 3 imes 10^5,a_iin [1,n])

  3.5s,64MB​

• 题解

  容易发现，对于查询操作，我们如果把 (le x) 的数设为 (1) ，其余为 (0) ，那么一个长为 (len) 的极长 (1) 连续段的贡献为 (frac{len(len+1)}{2}) 。

  那么暴力即为从左到右模拟整个过程，维护后缀 (1) 连续段的长度。

  考虑优化这个模拟过程，不难想到序列分块。

  设块长为 (B) ，那么一个块内本质不同的答案只有 (O(B)) 个。

  对于查询区间 ([l,r]) ，边角暴力。对于中间的块，我们需要维护 (le x) 的 (1) 连续段前缀长度，后缀长度，以及除去前后缀的块内贡献。

  如果我们对每个块，从小到大处理每个元素，利用链表或并查集等维护 (1) 连续段，能做到一次 (O(B)) 求出一个块所有本质不同的答案。

  那么我们预处理直接对块内排序，修改就类似插入排序的方式维护排序后的数组，块内信息暴力重构，那么预处理复杂度是 (O(nlog n)) ，修改一次复杂度是 (O(B)) 。

  询问对于一个块我们还需要找到 (x) 的位置，复杂度一次是 (O(B+frac{n}{B}log B)) 。

  不难得出 (B=sqrt{nlog n}) 最优，总复杂度 (O(nlog n+msqrt{nlog n})) 。

  然而这大概率不能通过这道题，我们继续优化。

  注意到瓶颈在于找到 (x) 在一个块内的位置，这是一个前缀和问题，我们有 (O(sqrt n)-O(1)) 的值域分块，而空间限制导致我们不能对每个块开一个前缀和数组，那么容易想到离线，逐块处理，每次利用 (O(sqrt n)-O(1)) 的值域分块做到 (O(1)) 查询位置。

  我们来分析复杂度。

  预处理不变： (O(nlog n)) 。

  多了新操作每个块的处理： (O(frac{n^2}{B})) 。

  修改要增加一个值域分块： (O(m(B+sqrt n))) 。

  查询把 (log B) 去掉： (O(m(B+frac{n}{B}))) 。

  那么 (B=sqrt n) 最优，总复杂度 (O((n+m)sqrt n)) 。