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机器学习 —— 概率图模型（马尔科夫与条件随机场）
再一次遇到了Markov模型与条件随机场的问题，学而时习之，又有了新的体会。所以我决定从头开始再重新整理一次马尔科夫模型与条件随机场。
马尔科夫模型是一种无向概率图模型，其与马尔科夫链并不是很一样。马尔科夫链的节点是状态，边是转移概率，是template CPD的一种有向状态转移表达。而马尔科夫模型是与贝叶斯模型并列的一种概率图模型。其作用是描述互相影响，互相作用，不存在因果关系的两个随机变量之间的关系。因为作用是相互的，所有马尔科夫模型的边是无向的，或者可以说是双向的。马尔科夫模型的强大之处在于它解除了贝叶斯模型中的因果关系，这也就使得它可以对很多平等的东西建立相互关系。比如一幅图片的各个像素就是平等的，但是各个像素之间可以相互影响（天在上，地在下）。所有马尔科夫模型被广泛的应用于图像处理，与图像理解。（图像处理与图像理解所使用的网络结构并不一样）。
1.toy Example
假设有4个人，之间搞三角恋的关系。其关系如图所示，有边的部分代表有联系，没边的部分代表不联系。
这四个人可以持有不同的意见0，1. 比如DA,BC两对完全赞同对方的意见，CD两个人完全反对对方的意见，AB 对对方的意见存疑。四个人各自的意见都是随机变量，但是经过一番交流后肯定会达成某个共识。我们认为达成不同共识的概率是不同的。因为我们对最终的概率感兴趣，所以要对不同意见组合的可能性进行量化（打分）。注意，这里的打分是凭着直觉给的，并不完全要求归一化。比如上图中的打分。
最终，我们希望得到不同意见组合的概率，直觉上，只需要把随机变量对应取值，按照边的关系相乘就可以获得了。
这里Z是归一化因子，把上面所有数据加起来，再归一化，数据看起来就像是概率了。但是这个概率看起来很诡异啊，明明a=b的概率比较大，可是边际化之后确实a0b1比较可能，其根本原因在于a,b之间不止一条边。a还可以通过DC影响B。补充一句：我们凭感觉给的那个数，就是“势”。
2. Gibbs 分布
谈概率就一定要谈分布，分布的本质就是概率密度函数的表达式。“势”可以有很多方法确定，假设是已知的，那么随机变量的联合概率则可表达为：
思路和上面是一样的，如果有各个“团”的“势”，那么则可以通过“超级边际化”来获得总因子，将整个势进行归一化。这个过程称为Gibbs分布。
3.分布--->图，图--->分布
在有了Gibbs分布这一工具之后，就可以建立概率图的数学模型了。需要注意的是：对于给定的分布，可以建立不同的图，对于给定的图，也有不同的分布写法。
实际上，“团”代表的是影响流动的方向。一旦某个随机变量被观察到，影响则被隔断了。trail就死了。
4.条件随机场
其实条件随机场是一种更给力的“naive bayes classfier"。 之前在学习朴素贝叶斯分类器的时候，其实我一直有疑问，直观上如果是推测 Y 的种类，我们使用了P(y,x1,x2,x3,x4....)这样的概率。但是这并不符合我们的直觉啊，因为我们基于证据进行推理，那么应该计算的是P(y|x1,x2,x3,x4.....)。我的直觉确实是对的， 当x1,x2,x3,x4之间，不存在相关性的时候，朴素贝叶斯的联合概率和后面的条件概率性质上是等价的。但是一旦x1,x2,x3,x4存在相关性，那么联合概率密度函数就不能基于朴素贝叶斯的假设来求了。会导致结果的畸形。
但是条件概率公式是没有问题的，因为条件概率中，并不在意x1中是否也给出了x2的信息。总之那都是条件，条件重复了对结果没有影响。那么我们想个办法把朴素贝叶斯分类器的换掉不就好了，这个换掉的方法就是条件随机场。代价是它不能使用x1,x2.....的独立假设，不能用x随机变量因子连乘的形式给出p(y,x1,x2.....)。
在这里，我假设了x 变量各种爱恨纠葛，总之就是纠缠在一起了。但是这不要紧啊，我们把每个团都设成 Φ(Y,Xi)就好了。Gibbs同一个图分布有多种表达方式，影响是可以通过节点逆向互相传递的。每个团的势，相当于是 xi 对 Y 的影响，机器学习里面用了很高明的方法把 xi 变成开关量，势函数变成了开关量乘以权重再取指数。最后训练得到权重。
Φ(y,x1,x2,x3.....) 可以由Gibbs分布给出。那么我们只需要找到Φ(x1,x2,x3.......)作为分母就好。这个分母也很好求，只要把 y 边际掉就好了。结果如下：
这样，我们就可以用条件随机场来分割图像了。因为我们选的图像特征是很相关的：颜色，纹理，位置(比如正常的场景上面就会是蓝色（天），下面往往是黑的（影子））。抛开了朴素贝叶斯模型的独立假设，条件随机场这种特殊的马尔科夫模型对特征不敏感，怪不得说the sink can be the feature............