动态规划法解矩阵链乘问题

     [问题]给定一个包含n个矩阵的链乘式，通过对矩阵加括号来变换矩阵相乘的次序。问应当怎样加括号才能使求解过程中乘法运算的总次数最少？最少的总次数是多少？

     [解析]假设矩阵链乘式A₁A₂A₃A₄A₅的最优解为((A₁)(A₂A₃))(A₄A₅) ，则(A₁)(A₂A₃)必为链乘式A₁A₂A₃的最优解(由反证法易得)。由此可知，该问题具有最优子结构性质。递推式如下；

     设链乘式A_iA_i+1A_i+2……A_j中矩阵A_n的列数为Columns[n],其划分的形式为 

(A_i……A_k)(A_k+1……A_j），则相应的乘法运算的总次数为，对左括号进行计算求得矩阵A_Left的过程中的最少总次数f(i)(k)，加上对右括号进行计算求得矩阵A_Right的过程中的最少总次数f(k+1)(j)，再加上Columns[i-1] × Columns[k]的矩阵A_Left与Columns[k] × Columns[j]的矩阵A_Right 相乘时乘法运算的总次数Columns[i-1] * Columns[k] * Columns[j]。所以链乘式A_iA_i+1A_i+2……A_j的最优解的值f(i)(j)就是k的取值从i一直取到j的过程中所得的最小的总次数，即

     f(i)(j) = Min{f(i)(k) + f(k+1)(j) + Columns[i-1] * Columns[k] * Columns[j]}，i≤k<j