AGC051D C4

一个无向四元环（顺时针(STUV)），给出每条边经过的次数(a,b,c,d)，求从(S)出发，(S)结束的方案数。

(1le a,b,c,dle 5*10^5)

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以下为了方便，记(F(x,y))表示(x)和(y)组合的方案数（即(inom{x+y}{x})），(F(x,y,z))同理。

普通做法：

先把不形成欧拉回路的情况判掉。

把两步连在一起，则可以分为：

1. S-V-U，U-V-S。
2. S-T-U，U-T-S。
3. S-V-S，S-T-S，U-V-U，U-T-U。

枚举1,2用了多少次，记为(i,j)。

由于来回是对称的，所以1,2直接组合，贡献为(F(i,j))。

考虑S-?-S，它可以是两个1或2组合起来，个数(frac{i+j}{2})，也可以是3中的S-V-S，个数(frac{d-i}{2})，S-T-S，个数(frac{a-j}{2})，贡献为(F(frac{i+j}{2},frac{d-i}{2},frac{a-j}{2}))。

同理，考虑U-?-U，贡献为(F(frac{i+j}{2}-1,frac{c-i}{2},frac{b-j}{2}))。

答案为(sum_{i,j}F(i,j)F(frac{i+j}{2},frac{d-i}{2},frac{a-j}{2})F(frac{i+j}{2}-1,frac{c-i}{2},frac{b-j}{2}))。

可以FFT。

更简单的做法：

考虑给边定向。可以发现定向的方案只有(O(n))种，然后套上BEST定理(O(1))计算。

由于对BEST定理不熟悉搞了好久。

参考资料：https://oi-wiki.org/graph/matrix-tree/

设(G)为有向欧拉图，则欧拉回路（没有固定起点）的总数(ec(G))为：

[ec(G)=t^{root}(G,k)prod (deg_v-1)! ]

(t^{root}(G,k))表示(k)为根的根向树计数。它的基尔霍夫矩阵为(D^{out}-E)。

（注意是根向树也叫内向树，而用的度数矩阵为(D^{out})。

由于没有固定起点，于是还需要乘(deg(S))，并且因为不区分同类边，所以要除以各自的阶乘。

最后还有我看不懂的Tiw-Air-OAO大爷的生成函数做法：https://www.cnblogs.com/Tiw-Air-OAO/p/14440147.html

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using namespace std;
#include <bits/stdc++.h>
#define N (1<<21)
#define mo 998244353
#define ll long long
ll qpow(ll x,ll y=mo-2){
	ll r=1;
	for (;y;y>>=1,x=x*x%mo)
		if (y&1)
			r=r*x%mo;
	return r;
}
int nN,re[N];
void setlen(int n){
	int bit=0;
	for (nN=1;nN<=n;nN<<=1,++bit);
	for (int i=1;i<nN;++i)
		re[i]=re[i>>1]>>1|(i&1)<<bit-1;	
}
void dft(int A[],int flag){
	for (int i=0;i<nN;++i)
		if (i<re[i])
			swap(A[i],A[re[i]]);
	static int wnk[N];
	for (int i=1;i<nN;i<<=1){
		ll wn=qpow(3,flag==1?(mo-1)/(2*i):mo-1-(mo-1)/(2*i));
		wnk[0]=1;
		for (int k=1;k<i;++k)
			wnk[k]=wnk[k-1]*wn%mo;
		for (int j=0;j<nN;j+=i<<1)
			for (int k=0;k<i;++k){
				ll x=A[j+k],y=(ll)A[j+k+i]*wnk[k];
				A[j+k]=(x+y)%mo;
				A[j+k+i]=(x-y)%mo;
			}
	}
	for (int i=0;i<nN;++i)
		A[i]=(A[i]+mo)%mo;
	if (flag==-1){
		ll invn=qpow(nN);
		for (int i=0;i<nN;++i)
			A[i]=A[i]*invn%mo;
	}
}
void multi(int c[],int a[],int b[],int n){
//	for (int i=0;i<=n;++i)
//		for (int j=0;j<=n;++j)
//			c[i+j]=(c[i+j]+(ll)a[i]*b[j])%mo;
	static int A[N],B[N];
	setlen(n*2);
	for (int i=0;i<=n;++i)
		A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	dft(A,1),dft(B,1);
	for (int i=0;i<nN;++i)
		A[i]=(ll)A[i]*B[i]%mo;
	dft(A,-1);
	for (int i=0;i<=n*2;++i)
		c[i]=A[i];
}
ll fac[N],ifac[N];
void initC(int n){
	fac[0]=1;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		fac[i]=fac[i-1]*i%mo;
	ifac[n]=qpow(fac[n]);
	for (int i=n-1;i>=0;--i)
		ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mo;
}
ll C(int m,int n){return fac[m]*ifac[n]%mo*ifac[m-n]%mo;}
int a,b,c,d;
int f[N],g[N],h[N];
int main(){
	freopen("in.txt","r",stdin);
	scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
	initC(a+b+c+d);
	if (d+a&1|a+b&1|b+c&1|c+d&1){
		printf("0
");
		return 0;
	}
	for (int i=c&1;i<=c && i<=d;i+=2)
		f[i]=ifac[i]*ifac[d-i>>1]%mo*ifac[c-i>>1]%mo;
	for (int j=a&1;j<=a && j<=b;j+=2)
		g[j]=ifac[j]*ifac[a-j>>1]%mo*ifac[b-j>>1]%mo;
	int n=max(max(a,b),max(c,d));
	multi(h,f,g,n);
	ll ans=0;
	for (int i=2;i<=n*2;++i)
		ans=(ans+h[i]*fac[i]%mo*ifac[i/2]%mo*ifac[i/2-1])%mo;
	ans=ans*fac[d+a>>1]%mo*fac[(b+c>>1)-1]%mo;
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}

using namespace std;
#include <bits/stdc++.h>
#define N (1<<21)
#define mo 998244353
#define ll long long
ll qpow(ll x,ll y=mo-2){
	ll r=1;
	for (;y;y>>=1,x=x*x%mo)
		if (y&1)
			r=r*x%mo;
	return r;
}
ll fac[N],ifac[N];
void initC(int n){
	fac[0]=1;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		fac[i]=fac[i-1]*i%mo;
	ifac[n]=qpow(fac[n]);
	for (int i=n-1;i>=0;--i)
		ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mo;
}
ll C(int m,int n){return fac[m]*ifac[n]%mo*ifac[m-n]%mo;}
int a,b,c,d;
int pa,pb,pc,pd;
ll calc(ll _11,ll _12,ll _13,ll _21,ll _22,ll _23,ll _31,ll _32,ll _33){
	ll s=0;
	s+=_11*_22*_33;
	s+=_11*_23*_32*(-1);
	s+=_12*_21*_33*(-1);
	s+=_12*_23*_31;
	s+=_13*_21*_32;
	s+=_13*_22*_31*(-1);
	return s%mo;
}
int main(){
	freopen("in.txt","r",stdin);
	scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
	initC(a+b+c+d);
	if (d+a&1|a+b&1|b+c&1|c+d&1){
		printf("0
");
		return 0;
	}
	ll ans=0;
	for (pa=0;pa<=a;++pa){
		pb=2*pa-a+b>>1;
		pc=2*pb-b+c>>1;
		pd=2*pc-c+d>>1;
		if (pb<0 || pc<0 || pd<0 || pb>b || pc>c || pd>d)
			continue;
		ll tmp=(pa+d-pd)*ifac[pa]%mo*ifac[a-pa]%mo*ifac[pb]%mo*ifac[b-pb]%mo*ifac[pc]%mo*ifac[c-pc]%mo*ifac[pd]%mo*ifac[d-pd]%mo;
		tmp=tmp*fac[pa+d-pd-1]%mo*fac[pb+a-pa-1]%mo*fac[pc+b-pb-1]%mo*fac[pd+c-pc-1]%mo;
		tmp=tmp*calc(pb+a-pa,-pb,0,-(b-pb),pc+b-pb,-pc,0,-(c-pc),pd+c-pc)%mo;
		(ans+=tmp)%=mo;
	}
	ans=(ans+mo)%mo;
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}