矩阵小总结

矩阵：在线性代数中，矩阵就是以行和列形式组织的矩形数字块。向量是标题的数组，矩阵是向量的数组。

方阵：行数和列数相同的矩阵

对角矩阵：所有非对角线元素都为0的方阵

单位矩阵：对角线元素为1，其它元素为0的对角矩阵。

转置：矩阵M沿着对角线翻折，即Mij^T=Mji，记为M^T

　　2条引理：

　　1. 对于任意矩阵M,有(M^T)T=M

　　2. 对于任意对角矩阵，都有D^T=D

矩阵乘法：矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，乘法AB才有意义。

　　注意事项：

　　1. 任意矩阵M乘以方阵S，都将得到与原矩阵大小相同的矩阵。若S为单位矩阵，则结果将是原矩阵，即：MI=IM=M

　　2. 矩阵乘法不满足交换律，即：AB!=BA

　　3. 矩阵乘法满足结合律，即：(AB)C=A(BC)

　　4. 矩阵乘法也满足与标量或向量的结合律，即：(kA)B=k(AB)=A(kB)    (vA)B=v(AB)

　　5. 矩阵积的转置相当于先转置矩阵然后以相反的顺序乘：(AB)T=B^TA^T

　　6. 矩阵，向量乘法满足对向量加法的分配律。对于向量v,w和矩阵M，有：(v+w)M=vM+wM

余子式：记为M^{ij}，表示从M中除去第i行和第j列后剩下的矩阵。

代数余子式：c_ij=(-1)^i+j|M^{ij}|，表示M的第i行，第j列元素的代数余子式。注意余子式是一个矩阵，而代数余子式是一个标量。

行列式：从矩阵中任意选择一行或一列，对该行或列中的每个元素，都乘以对应的代数余子式。这些乘积的和就是矩阵的行列式。

　　行列式的性质：

　　1. 矩阵积的行列式等于矩阵行列式的积：|AB|=|A||B|

　　2. 矩阵转置的行列式等于原矩阵的行列式：|M^T|=|M|

　　3. 如果矩阵的任意行或列全为零，那么它的行列式等于零

　　4. 交换矩阵的任意两行或两列，行列式变负。

　　5. 任意行或列的非零积加到另一行或列上不会改变行列式的值。

伴随矩阵：M的“标准伴随矩阵”记作"adj M"，定义为M的代数余子式的转置矩阵。

矩阵的逆：记为M^-1，满足MM^-1=M^-1M=I。求法： M^-1=adjM/|M|

　　如果一个矩阵有逆矩阵，那么称为可逆的或非奇异的。否则称为不可逆的或奇异矩阵。奇异矩阵的行列式为零，非奇异矩阵的行列式不为零，所以检测矩阵的行列式是不为零是判断矩阵是否可逆的有效方法。此外，对于任意可逆矩阵M，当且仅当v=0时，vM=0

　　性质：

　　1. 如果M是非奇异矩阵，则该矩阵的逆的逆等于原矩阵：(M^-1)^-1=M

　　2. 单位矩阵的逆是它本身：I^-1=I

　　3. 矩阵转置的逆等于它的逆的转置：(M^T)^-1=(M^-1)^T

　　4. 矩阵乘积的逆等于矩阵的逆的相反顺序的乘积：(AB)^-1=B^-1A^-1

正交矩阵：若方阵M是正交的，则当且仅当M与它转置M^T的乘积等于单位矩阵，即： M正交<=>MM^T=I<=>M^T=M^-1

　　若一个矩阵是正交的，它必须满足下列条件：

　　1. 矩阵的每一行都是单位向量。

　　2. 矩阵的所有行互相垂直。

　　对于矩阵的列也得到类似条件。因此有：如果M是正交的，则M^T也是正交的。

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