子序列的个数 --- 庞果网

庞果网的新题目：

题目描述

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本题同样来自caopengcs，只要你有兴趣，每个人都可以出题（出题入口在主页右侧边栏“贡献题目”->“我要发布”内），以下是题目详情：

• 子序列的定义：对于一个序列a=a[1],a[2],......a[n]，则非空序列a'=a[p1],a[p2]......a[pm]为a的一个子序列

  • 其中1<=p1<p2<.....<pm<=n。 例如：4,14,2,3和14,1,2,3都为4,13,14,1,2,3的子序列。
  • 对于给出序列a，有些子序列可能是相同的，这里只算做1个

• 要求输出a的不同子序列的数量。

输入:

• 长度为n的数组1<=n<=100,数组元素0<=a[i]<=110

输出:

• 子序列 的个数对1000000007取余数的结果(由于答案比较大，输出Mod 1000000007的结果即可)

算法描述

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刚开始的时候我总想着直接去算排列组合，然后根据容斥原理把重复的去掉，从而得到结果，后来发现这样不是不行，要考虑的东西实在是太多了，编程起来非常麻烦。放弃了。

后来休息了一天，再看的时候换了一个思路，仔细分析了一下题目，按照递推关系，找到一个比较靠谱的思路。

设 f(k)为k长度的序列的子序列个数，那么很显然有以下推论：

• f(k)的个数包括f(k-1)的个数，因为f(k-1)的每一个都是f(k)的子序列，然后把f(k-1)的每个序列和a[k]组合起来，这些序列也是f(k)的子序列，个数还是f(k-1),载加上单独的a[k]，那么

f(k)=2*f(k-1)+1

• 上面这个表达式是当a[k]和前面的数都不同的时候的情况，如果a[k]在前面出现过的话，那f(k)的个数除了上面那些的话：

  • 还需要减去最近一次出现a[k]这个数值的地方-1的子序列个数，因为这些算重复了
  • +1也没有了，因为f(a[k]上次出现的位置)包括了a[k]单独算一次的情况

f(k)=2*f(k-1)-f(a[k]上次出现的位置-1)

有了这两个表达式，就是一个完整的递推关系了，a[k]上次出现的位置的保存，可以用一个hash表来存储，这样速度很快，但是题目说a[k]的范围是0到220，那可以用一个220的数组来存储，反正也不会溢出，省得用hash了。

代码比较简单，具体的可以上github上看

subArray[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
	 {

	     if(lastSameIndex[a[i-1]] == 0 )
	     {
			 subArray[i]=(subArray[i-1]*2)+1;         
	     }
	     else 
	     {
			 subArray[i]=((subArray[i-1]*2)-subArray[lastSameIndex[a[i-1]]-1]);
	     }
	     lastSameIndex[a[i-1]]=i; 
	 }