【BZOJ】2190: [SDOI2008]仪仗队（欧拉函数）

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2190

一开始没想到QAQ看了题解恍然大悟，虽然做法和题解不同。。

因为以1开头或结尾的坐标的比较特殊，所以首先不考虑先。

考虑从2开始的坐标，发现当这个点不在以点(1,1)放出的射线第一个遇到的点时，则不选。意思就是说，不是第一个点的倍数！

因此想到当坐标gcd(x, y)!=1时，这个点看不到！因为d=gcd(x, y)!=1，显然有坐标(x/d, y/d)在这条线上！（可以用斜率来搞搞。。但是这是显然的吧。。）

然后发现似乎有点难算？比如有些点(4, 2)虽然看得到但是gcd(4, 2)=2，问题出在哪？(2, 1)本来就不在射线上！

将坐标全部减1....

然后你会发现行了。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

然后答案就是

$$sum_{x=1}^{n-1} sum_{y=1}^{n-1} [gcd(x, y)=1]$$

这个是莫比乌斯的特例。。。。。。直接欧拉函数可以上。。。。

就是

$$sum_{1<=i<=n-1} phi(i)$$

然后乘个2，因为1,1算了两次，因此减1，然后原版坐标1,1旁边有两个，所以+2，所以答案就是

$$1+2sum_{1<=i<=n-1} phi(i)$$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define rep(i, n) for(int i=0; i<(n); ++i)
#define for1(i,a,n) for(int i=(a);i<=(n);++i)
#define for2(i,a,n) for(int i=(a);i<(n);++i)
#define for3(i,a,n) for(int i=(a);i>=(n);--i)
#define for4(i,a,n) for(int i=(a);i>(n);--i)
#define CC(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define read(a) a=getint()
#define print(a) printf("%d", a)
#define dbg(x) cout << (#x) << " = " << (x) << endl
#define error(x) (!(x)?puts("error"):0)
inline const int getint() { int r=0, k=1; char c=getchar(); for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if(c=='-') k=-1; for(; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) r=r*10+c-'0'; return k*r; }
#define rdm(x, i) for(int i=ihead[x]; i; i=e[i].next)

const int N=40005;
int p[N], cnt, np[N], phi[N];
void init(int n) {
	phi[1]=1;
	for1(i, 2, n) {
		if(!np[i]) p[++cnt]=i, phi[i]=i-1;
		for1(j, 1, cnt) {
			int t=p[j]*i; if(t>n) break;
			np[t]=1;
			if(i%p[j]==0) { phi[t]=phi[i]*p[j]; break; }
			phi[t]=phi[i]*phi[p[j]];
		}
	}
}

int main() {
	int n=getint(); init(n-1);
	int ans=0;
	for2(i, 1, n) ans+=phi[i];
	ans=ans*2+1;
	print(ans);
	return 0;
}

　　

---

Description

　　作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。 　　  　　现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

Input

　　共一个数N。

Output

　　共一个数，即C君应看到的学生人数。

Sample Input

　　4

Sample Output

　　9

HINT

【数据规模和约定】 　　对于 100% 的数据，1 ≤ N ≤ 40000

Source

数论