树状数组基础知识

参考资料：http://blog.csdn.net/z309241990/article/details/9615259

一维树状数组：

使用情况：当要频繁的对数组元素进行修改,同时又要频繁的查询数组内任一区间元素之和的时候,可以考虑使用树状数组. 

一、回顾一维树状数组  假设一维数组为A[i](i=1,2,...n),则与它对应的树状数组C[i](i=1,2,...n)是这样定义的：  C1 = A1  C2 = A1 + A2  C3 = A3  C4 = A1 + A2 + A3 + A4  C5 = A5  C6 = A5 + A6

C7 = A7  C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8  ……  C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16  ......

   
1.c[t]展开后有多少项

int lowbit(int x)//C[t]展开的项数就是lowbit(t),C[t]就是从A[t]开始往左连续求lowbit(t)个数的和. 
{
  return x&(-x);
}

2.更新

 比如修改了A3,必须修改C3,C4,C8,C16,C32,C64... 
 当我们修改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，对于节点i，父节点下标 p=i+lowbit(i)  

void update(int i,int x)
{
   while(i<=n)
    {
      c[i]+=x;
      i+=lowbit(i);
     }
}

3.求前n项的和

int get_sum(int n)
{
  int sum=0;
  while(n>0)
  {
   sum+=c[n];
   n-=lowbit(n);
  }
 return sum;
}

如：Sun(1)=C[1]=A[1];
      Sun(2)=C[2]=A[1]+A[2];
      Sun(3)=C[3]+C[2]=A[1]+A[2]+A[3];
      Sun(4)=C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
      Sun(5)=C[5]+C[4];
      Sun(6)=C[6]+C[4];
      Sun(7)=C[7]+C[6]+C[4];
      Sun(8)=C[8];

lowbit(1)=1       lowbit(2)=2       lowbit(3)=1      lowbit(4)=4
 lowbit(5)=1       lowbit(6)=2       lowbit(7)=1      lowbit(8)=8
 lowbit(9)=1      lowbit(10)=2      lowbit(11)=1      lowbit(12)=4
lowbit(13)=1      lowbit(14)=2      lowbit(15)=1      lowbit(16)=16
lowbit(17)=1      lowbit(18)=2      lowbit(19)=1      lowbit(20)=4
lowbit(21)=1      lowbit(22)=2      lowbit(23)=1      lowbit(24)=8
lowbit(25)=1      lowbit(26)=2      lowbit(27)=1      lowbit(28)=4
lowbit(29)=1      lowbit(30)=2      lowbit(31)=1      lowbit(32)=32
lowbit(33)=1      lowbit(34)=2      lowbit(35)=1      lowbit(36)=4
lowbit(37)=1      lowbit(38)=2      lowbit(39)=1      lowbit(40)=8
lowbit(41)=1      lowbit(42)=2      lowbit(43)=1      lowbit(44)=4
lowbit(45)=1      lowbit(46)=2      lowbit(47)=1      lowbit(48)=16
lowbit(49)=1      lowbit(50)=2      lowbit(51)=1      lowbit(52)=4
lowbit(53)=1      lowbit(54)=2      lowbit(55)=1      lowbit(56)=8
lowbit(57)=1      lowbit(58)=2      lowbit(59)=1      lowbit(60)=4
lowbit(61)=1      lowbit(62)=2      lowbit(63)=1      lowbit(64)=64

二、树状数组可以扩充到二维。 
使用情况
1) 对矩阵里的某个数加上一个整数（可正可负） 
2) 查询某个子矩阵里所有数字的和,要求对每次查询，输出结果。 

数组A[][]的树状数组定义为： 

  C[x][y] = ∑ a[i][j], 其中， 
    x-lowbit(x) + 1 <= i <= x, 
    y-lowbit(y) + 1 <= j <= y. 

     设原始二维数组为： 
　A[][]={{a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18,a19}, 
         {a21,a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28,a29}, 
         {a31,a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38,a39}， 
         {a41,a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48,a49}}; 

对应的二维树状数组C[][]
记: 
  B[1]={a11,a11+a12,a13,a11+a12+a13+a14,a15,a15+a16,...} 这是第一行的一维树状数组 
  B[2]={a21,a21+a22,a23,a21+a22+a23+a24,a25,a25+a26,...} 这是第二行的一维树状数组 
  B[3]={a31,a31+a32,a33,a31+a32+a33+a34,a35,a35+a36,...} 这是第三行的一维树状数组 
  B[4]={a41,a41+a42,a43,a41+a42+a43+a44,a45,a45+a46,...} 这是第四行的一维树状数组 
那么： 
C[1][1]=a11,C[1][2]=a11+a12,C[1][3]=a13,C[1][4]=a11+a12+a13+a14,c[1][5]=a15,C[1][6]=a15+a16,... 
   这是A[][]第一行的一维树状数组 

C[2][1]=a11+a21,C[2][2]=a11+a12+a21+a22,C[2][3]=a13+a23,C[2][4]=a11+a12+a13+a14+a21+a22+a23+a24, 
C[2][5]=a15+a25,C[2][6]=a15+a16+a25+a26,... 
   这是A[][]数组第一行与第二行相加后的树状数组 

C[3][1]=a31,C[3][2]=a31+a32,C[3][3]=a33,C[3][4]=a31+a32+a33+a34,C[3][5]=a35,C[3][6]=a35+a36,... 
   这是A[][]第三行的一维树状数组 

C[4][1]=a11+a21+a31+a41,C[4][2]=a11+a12+a21+a22+a31+a32+a41+a42,C[4][3]=a13+a23+a33+a43,... 
    这是A[][]数组第一行+第二行+第三行+第四行后的树状数组 

二维下的更新

void update(int i,int j,int data)
{
  A[i][j]+=data;
  for(int x=i;x<A.length;x+=lowbit(x))
      for(int y=j;y<A[i].length;y+=lowbit(y))
       {
         c[x][y]+=data;
       }
}

  2.二维下的求和

int sum(int i,int j)
{
  int result=0;
  for(int x=i;x>0;x-=lowbit(x))
      for(int y=j;y>0;y-=lowbit(y))
          result+=c[x][y];
  return result;
}

Sum(1,1)=C[1][1];  Sum(1,2)=C[1][2]; Sum(1,3)=C[1][3]+C[1][2];...
 Sum(2,1)=C[2][1];  Sum(2,2)=C[2][2]; Sum(2,3)=C[2][3]+C[2][2];...
 Sum(3,1)=C[3][1]+C[2][1]; Sum(3,2)=C[3][2]+C[2][2];