并查集知识总结

并查集（union-find sets）

并查集所基于的数据结构是树形的数据结构，

整个树被抽象成为集合（Set），

而 树形结构中，节点被抽象为Elem，

树的根作为树中节点的祖先，

在树中，节点除了根节点以外都有父节点。

但是祖先节点只有一个。

即在集合Set中所有的元素Elem都有父节点，

但是它们的祖先节点有且只有一个：可以根据这一条件来判断两个元素

是否位于同一个集合中，即判断它们的祖先节点是否是相同的即可。

如果集合中只有一个节点那么，该集合的祖先节点为它本身。

 

基于该树形数据结构的主要三种原子操作有：

1.Make_Set（Elem x）

在刚开始接收元素的时候，每个元素之间都是相互孤立的集合。

这个操作用于把每一个元素初始化为一个仅包含一个元素的集合。

在初始化后每一个元素的父节点是它本身。

每个元素的祖先节点也是它本身。这里需要注意的是，父节点不一定是

祖先节点的。

也就是说

i-（root）>j->k

k的父节点是j，k的祖先节点是i

j的父节点是i，j的祖先节点仍然是i

 

2.Find_Set（Elem x）这个操作时查找一个元素所在的集合。

这个原子操作的本质思想就是找到元素x的祖先节点，

祖先节点对于一个集合来所是唯一的，

就像是对于一个树来所它的根可以

唯一确定一个树一样。

所以x元素的祖先节点所确定的集合一定是x所在的集合。

 

3.Union(Elem x, Elem y) 这个操作使用来合并元素x  和元素 y所在的集合的。

合并两个集合的思想是，

各自调用Find_Set(x) 和Find_Set(y)这两个操作，

找到两个元素所在集合的祖先，

然后根据树形结构的树的高度作为判断条件来

使得一个集合的祖先作为另一个集合的祖先。

这样就实现了合并两个元素所在的集合这一个操作。

 

即（x所在集合的祖先节点|变为子节点）->(y所在集合的祖先节点|仍旧是父节点&祖先节点)

或是(y所在集合的祖先节点|变为子节点)->(x所在集合的祖先节点|仍旧是父节点&祖先节点)

 

 

 

 并查集优化操作

1.递归查找祖先可以使得代码简洁易懂，但是如果集合对应的树形结构比较特殊的时候（例如每层仅有一个节点）

会消耗很多资源，效率也会下降，会使得最坏情况的时间空间复杂度大大加大。

所以可以在递归寻找祖先的时候，把最后一个节点的父节点设为父节点的父节点。

以此类推下去，会将树中所有节点都指向祖先节点，

这时候的树高为1（不算根节点的情况下）：即所有的节点的父节点都是祖先节点了。

 

这就是所谓的路径压缩方法。

 

如果说并查集就不得不说并查集中的秩，

秩往往用来表示子树的深度或者是同一个集合里面的元素的个数。

2.而在合并集合的时候，通常是将元素少的集合合并到元素多的集合中，

这样合并后树的高度会相对较小。

 

下面是对于并查集比较经典的代码实现，

注释是LZ根据自己的理解增添上去的。

 

int father[MAX];
//这个数组是用来存放某一个元素的父节点元素值的
//即,若设节点i的父节点是节点j的话，则由 father[i]=j；

int rank[MAX];

//这个数组是用来记录秩的，在本实现并查集的代码中
//秩是用于记录子集中元素个数的
//即 若元素节点i有k个子节点，那么就有 rank[i] = k;


//这个是初始化集合操作，在刚开始录入数据的时候，
//每个元素节点都是一个独立的集合，它们有0个子节点（因为自己无法是自身的子节点，
//但是自己却可以是自己的祖先节点 和 可以是自身的父亲节点）

//但是具体的实现方法和初始化设定还需要根据具体情况进行推敲

void Make_Set(int x)
{
  
  father[x] = x;//将自己设定为自己的父节点（祖先）
  rank[x]  = 0; //集合中x的子集个数为0，故将其赋值为0       
}




//下面的代码在实现递归查找x元素所在集合的同时，
//又对代码进行优化处理，在回溯的时候，又对路径进行了相应的压缩
//其实就是，为了降低树的高度，将集合中的的x节点的父节点设成该集合的祖先节点（树的根）
//不仅仅如此，x父节点的父节点....一直到祖先节点，它们的父节点都是集合的祖先节点
//（其中祖先节点的父节点就是本身，所以  father[祖先]=祖先，循环会因为这个条件而停下来）

int Find_Set(int x)
{
    if(x != father[x])   //如果x的父节点不是它本身的话，x所在的集合中就一定存在其余元素节点
    {
       father[x]  = Find_Set(father[x]);
//继续寻找x父节点的父节点，一直会找到祖先节点
//一次类推的话，最后从x到x父节点...祖先节点，的父节点都会是祖先节点
    }    
//循环会判断到father[x]=x这个地方停止，此时的x就是自身的父节点，即x就是祖先节点

    return father[x];  
//递归到x=father[x]停止，所以由此可知return 的father[x]即是
//在一开始传入操作的形参x所在集合的祖先节点
}




3.下面的这个操作是要合并传入形参x和y所在的集合

void Union(int x , int y)
{
    x = Find_Set(x);  //首先找到x所在集合的祖先节点
    y = Find_Set(y);  //然后找到y所在集合的祖先节点
   


    if(x==y)   return;
//如果x、y值相等的话，说明 一开始传入形参的x y元素拥有同一个祖先，即x，y在相同的集合中
　　


//如果不相同的话，说明x、y在不同的集合中，可以合并
//根据Union的描述，首先比较x和y（ps：此时的x、y分别对应的是传入参数的相应的祖先节点
//所以rank[x]的值是 传入参数1 所在集合的元素总数
// rank[y]的值对应的是 传入参数2 所在集合的元素总数）
//将元素少的集合的祖先节点作为 元素多的集合的祖先节点的 子节点
//即，if对应的是将y所在的集合的祖先节点作为 x集合祖先节点的子节点

    if(rank[x]   >    rank[y])
     {
        father [y] = x;
    }




//其余的情况，小于或等于都是y所在集合包含x所在的集合

    else
    {
        if(rank[x] == rank[y])
        {
              rank[y]++;
         }

        father[x]=y;

    }
}