BZOJ4036 按位或

解：有两种做法......

第一种，按照秘密袭击coat的套路，我们只需要求出即可。因为一种操作了i次的方案会被恰好计数i次。

那么这个东西怎么求呢？直接用FWT的思想，对于一个状态s，求出选择s所有子集的概率p_s。那么第i次操作后是s的子集的概率就是p_sⁱ。

设f_s表示第i次操作之后是s的子集的概率。

把所有的f求出来之后做一次IFWT即可。然后我们对于所有非全集求和。

参考资料。

#include <bits/stdc++.h>

const int N = 30, M = 1500010;
const double eps = 1e-12;

double f[M], p[M], w[M];
int cnt[M], pw[M], n, lm;

inline void FWT_or(double *a, int n, int f) {
    for(int len = 1; len < n; len <<= 1) {
        for(int i = 0; i < n; i += (len << 1)) {
            for(int j = 0; j < len; j++) {
                a[i + len + j] += f * a[i + j];
            }
        }
    }
    return;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    lm = 1 << n;
    for(int i = 0; i < lm; i++) {
        scanf("%lf", &p[i]);
        w[i] = p[i];
        if(i) {
            cnt[i] = 1 + cnt[i - (i & (-i))];
        }
        if(i > 1) {
            pw[i] = pw[i >> 1] + 1;
        }
    }
    FWT_or(p, lm, 1);
    for(int i = 0; i < lm; i++) {
        if(i != lm - 1 && p[i] > 1 - eps) {
            puts("INF");
            return 0;
        }
        f[i] = 1.0 / (1 - p[i]);
    }
    FWT_or(f, lm, -1);
    double ans = 0;
    for(int i = 0; i < lm - 1; i++) {
        ans += f[i];
    }
    printf("%.10f
", ans);
    return 0;
}

第二种：Min-Max容斥。

设f_s为把状态s的所有元素中至少一个变成1的期望次数。

同样是对步数0~∞求和，每次的概率是(没选到)ⁱ。最后Min-Max容斥统计答案。

#include <bits/stdc++.h>

const int N = 30, M = 1500010;
const double eps = 1e-12;

double f[M], p[M], w[M];
int cnt[M], pw[M], n, lm;

inline void FWT_or(double *a, int n, int f) {
    for(int len = 1; len < n; len <<= 1) {
        for(int i = 0; i < n; i += (len << 1)) {
            for(int j = 0; j < len; j++) {
                a[i + len + j] += f * a[i + j];
            }
        }
    }
    return;
}
/*
2
0.25 0.25 0.25 0.25

*/
int main() {
    scanf("%d", &n);
    lm = 1 << n;
    for(int i = 0; i < lm; i++) {
        scanf("%lf", &p[i]);
        w[i] = p[i];
        if(i) {
            cnt[i] = 1 + cnt[i - (i & (-i))];
        }
        if(i > 1) {
            pw[i] = pw[i >> 1] + 1;
        }
    }
    FWT_or(p, lm, 1);
    for(int i = 0; i < lm; i++) {
        if(i != lm - 1 && p[i] > 1 - eps) {
            printf("INF
");
            return 0;
        }
        //printf("p %d = %lf 
", i, p[i]);
        f[i] = 1.0 / (1 - p[(lm - 1) ^ i]);
    }
    //FWT_or(f, lm, -1);
    double ans = 0;
    for(int i = 1; i < lm; i++) {
        if(cnt[i] & 1) ans += f[i];
        else ans -= f[i];
    }
    printf("%.10f
", ans);
    return 0;
}