参考资料:
网易公开课:http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html 麻省理工公开课:线性代数
教材:Introduction to Linear Algebra, 4th edition by Gilbert Strang
链接:https://pan.baidu.com/s/1bvC85jbtOVdVdw8gYMpPZg
提取码:s9bl
一、置换矩阵(Permutation):行重新排列的单位矩阵,$color{red}{P^T=P^{-1}}$ //转置和逆一致
存在行变换时,LU分解变为$color{red}PA=LU$
二、转置(Transpose):$(A^T)_{ij}=A_{ji}$ //行列互换
三、对称矩阵(Symmetric):$A^T=A$ //转置不变性
(1)构造对称矩阵:对任意矩阵$R$而言,$color{red}{R^TR}$一定是对称的
证明:$(R^TR)^T=R^T(R^T)^T=R^TR$,得证。
四、向量空间 $R^2, R^3, cdots, R^n$
(1)任意两个向量相加的结果仍然位于向量空间内
(2)向量与任意标量的乘积仍然位于向量空间内 //包括0,因此向量空间一定包含零向量
因此,任意两个向量的线性组合都必须位于向量空间内(对线性组合是封闭的)
(3)子空间
- $R^2$的子空间包括$R^2$、任意经过零点$(0, 0)$的直线(这与$R^1$不同,因为每个向量都是二维的)、只包含零向量的空间$Z$
- $R^3$的子空间包括$R^3$、任意经过零点$(0, 0, 0)$的平面和直线、只包含零向量的空间$Z$
(4)列空间:利用矩阵列向量的线性组合构造的向量空间子空间$C(A)$