Description
给下N,M,K.求
Input
输入有多组数据，输入数据的第一行两个正整数T,K，代表有T组数据，K的意义如上所示，下面第二行到第T+1行，每行为两个正整数N,M，其意义如上式所示。
Output
如题
Sample Input
1 2
3 3
Sample Output
20
HINT
1<=N,M,K<=5000000,1<=T<=2000
Solution
首先可以推一波式子
[egin{aligned}
&sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^m(i,j)^k\
&=sum_{d=1}^nd^ksum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^m[(i,j)=1]\
&=sum_{d=1}^nd^ksum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^msum_{x|(i,j)}mu(x)\
&=sum_{d=1}^nd^ksum_{x=1}^nmu(x)lfloorfrac{n}{dx}
floorlfloorfrac{m}{dx}
floor
end{aligned}
]
发现(d^k)是个完全积性函数，那么可以(O(sqrt{n}*sqrt{n})=O(n))完成单次询问了
但是这样跑不过
所以继续推
[egin{aligned}
&设T=dx\
&=sum_{d=1}^nd^ksum_{x=1}^nmu(x)lfloorfrac{n}{dx}
floorlfloorfrac{m}{dx}
floor\
&=sum_{T=1}^{n}lfloorfrac{n}{T}
floorlfloorfrac{m}{T}
floorsum_{d|T}mu(frac{T}{d})d^k
end{aligned}
]
发现后面那个玩意可以(nlogn)筛出来，那么可以做到(O(nlogn+Tsqrt{n}))，但是我被bzoj的土豆机卡了。。。所以要继续推。
研究一下后面那堆发现这是个狄利克雷卷积的形式，所以说这是个积性函数，但是莫比乌斯函数里面有个分数的话有点难写，于是根据狄利克雷卷积的定义改一下
[egin{aligned}
&设g(T)=sum_{x|T}mu(x)*(frac{T}{x})^k\
&g(i)=T^k*sum_{x|T}frac{mu(x)}{x^k}
end{aligned}
]
考虑当T为质数的情况，设此时的(T=p)
[egin{aligned}
g(p)
&=p^k*sum_{x|p}frac{mu(x)}{x^k}\
&=p^k*left(frac{mu(1)}{1^k}+frac{mu(p)}{p^k}
ight)\
&=p^k*(1-frac{1}{p^k})\
&=p^k*frac{p^k-1}{p^k}\
&=p^k-1
end{aligned}
]
因为(g)是一个积性函数，所以当i,j互质显然有
[g(i*j)=g(i)*g(j)
]
考虑(j)为(i)的质因数的情况（因为在线性筛过程中(j)必为质数）
[egin{aligned}
&设i=r*j^c(k内不含质因子j)\
&g(i*j)\
&=g(r*j^{c+1})\
&=g(r)*g(j^{c+1})\
&考虑g(j^{c+1})=sum_{x|j^{c+1}}frac{mu(x)}{x^k}\
&显然只有当x=1或j时mu(x)才为1，其他情况为0所以当j的指数大于2时，g值是相同的\
&所以g(j^{c+1})=g(j^c)\
&又因为r和j^{c+1}和j^c互质，所以有\
&g(i*j)=g(r*j^{c+1})=g(r)*g(j^{c+1})=g(r)*g(j^c)=g(r*j^c)=g(i)
end{aligned}
]
综上可得，在线性筛过程中
[g(i*prime[j])=
egin{cases}
g(i)*g(prime[j])(i与prime[j]互质)\
g(i)(prime[j]为i的质因子)
end{cases}
]
所以我们用线性筛筛出这个函数(g)，就可以(O(n+Tsqrt{n}))的效率了
这题我写了大半天...主要就卡在最后这个积性函数的推导...
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
#define N 5000050
ll n, m;
ll p[N], cnt, mu[N];
bool vis[N];
ll F[N], k, id[N], sum[N];
ll power(ll a, ll b) { ll ans = 1;
while(b) {
if(b & 1) ans = ans * a % mod;
a = a * a % mod;
b >>= 1;
}
return ans % mod;
}
void init() {
cnt = 0;
mu[1] = id[1] = F[1] = 1;
for(ll i = 2; i < N; ++i) {
if(!vis[i])
id[i] = power(i, k) % mod, mu[i] = -1, p[++cnt] = i, F[i] = ((id[i] - 1) * power(id[i], mod - 2) + mod) % mod;
for(ll j = 1; j <= cnt && 1ll * p[j] * i < N; ++j) {
vis[i * p[j]] = 1;
id[i * p[j]] = id[i] * id[p[j]] % mod;
if(i % p[j] == 0) { F[i * p[j]] = F[i] % mod; break; }
mu[i * p[j]] = -mu[i];
F[i * p[j]] = F[i] * F[p[j]] % mod;
}
}
for(ll i = 1; i < N; ++i) sum[i] = (sum[i - 1] + F[i] * id[i] % mod) % mod;
}
ll calc(ll n, ll m) {
ll ans = 0;
if(n > m) swap(n, m);
for(ll l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
r = min(n / (n / l), m / (m / l));
ans += 1ll * (n / l) % mod * (m / l) % mod * (sum[r] - sum[l - 1] + mod) % mod;
}
return ans % mod;
}
int main() {
int T; scanf("%d%lld", &T, &k);
init();
while(T--) {
scanf("%lld%lld", &n, &m);
printf("%lld
", (calc(n, m) + mod) % mod);
}
}