【模板】堆【堆】

题目大意：

一个初始小根堆为空，我们需要支持以下3种操作：

1. 1 x 表示将x插入到堆中
2. 2 输出该小根堆内的最小数
3. 3 删除该小根堆内的最小数

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思路：

很简单，堆的模板题。维护一个小根堆即可。

堆是什么？

一般来说，堆是一个二叉树，它能维护一个数列的最大或最小值。
堆又分为小根堆和大根堆，小根堆是维护最小值的（即a[1]$a[1]$为最小值），而大根对是维护最大值的（即a[1]$a[1]$为最大值）。
时间复杂度：

• 建堆：O(n)$O(n)$
• 更改元素：O(nlogn)$O(nlogn)$

比如说，下图就是一个小根堆：

它符合一种特性：a[x]≤a[x×2]$a[x]\le a[x\times 2]$且a[x]≤a[x×2+1]$a[x]\le a[x\times 2+1]$
当我们插入一个元素时，堆会怎样维护最小值（最大值）呢？

void up(int x)
{
    a[++k]=x;
    int y=k;
    while(y>1&&a[y]<a[y/2])
    {
        swap(a[y],a[y/2]);
        y/=2;
    }
}

假设我们又插入了一个元素4。

它就会和他的父亲节点比较，若它的父亲节点比他大，就交换两数的位置。

继续，和他的父亲节点比较，6>4$6>4$，交换。

这时再与它的父亲节点比较，由于3<4$3<4$，所以就不用再往上了，维护结束，依然保证a[x]≤a[x×2]$a[x]\le a[x\times 2]$且a[x]≤a[x×2+1]$a[x]\le a[x\times 2+1]$。
那么对应该如何删除最小值（最大值），但是依旧维护呢？
这里一般的方法是：将点1$1$（最小值或最大值）和点k$k$（最后一个点）交换，再将点k$k$下移，直到无法往下。
比如说，我们要删除点1（点权为3的点），就先将它和最后一个点交换

将最后一个点（点权最小的点）删除

将交换上来的点下移，注意要选择两个儿子节点中点权更小的点交换（如果是大根堆就要找点权更大的点）。

继续下移，6<13<18$6<13<18$，将18和6交换。

由于没有子节点了，下移结束。
所以，运用好这两个方法，就能很好的完成堆的题目。

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代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n,m,x,a[5000001],k;

void up(int x)  //上移
{
    a[++k]=x;
    int y=k;
    while(y>1&&a[y]<a[y/2])
    {
        swap(a[y],a[y/2]);
        y/=2;
    }
}

void down()  //下移
{
    swap(a[1],a[k]);
    k--;
    int x=1;
    int y=2;
    while ((y<=k&&a[x]>a[y])||(y+1<=k&&a[x]>a[y+1]))
    {
        if (a[y]>a[y+1]&&y+1<=k)  y++;  //选择更小的那一个
        swap(a[x],a[y]);
        x=y;
        y=2*x;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    while (n--)
    {
        scanf("%d",&m);
        if (m==1)  //操作1
        {
            scanf("%d",&x);
            up(x);
        }
        if (m==2)  //操作2
        {
            printf("%d\n",a[1]);
        }
        if (m==3)  //操作3
        {
            down();
        }
    }
    return 0;
}