数论总结

线性筛素数

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
const int maxn=10000005;
int n,m;
bool isp[maxn];
int p[int(2*maxn/log(maxn))],cnt;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(isp,true,sizeof(isp));
    isp[1]=false;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(isp[i]) p[cnt++]=i;
        for(int j=0;j<cnt&&i*p[j]<=n;j++)
        {
            isp[i*p[j]]=false;
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }
    while(m-->0)
    {
        scanf("%d",&n);
        puts(isp[n]?"Yes":"No");
    }
    return 0;
}

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指数判定与质因数分解（Pollard-Rho与Miller Rabin）

例子：P4718 【模板】Pollard-Rho算法

代码：

#include<cstdio> 
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int ps[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37};
const int pcnt=sizeof(ps)/sizeof(int);
inline LL mt(LL a,LL b,LL m)
{
	LL d=((long double)a/m*b+1e-8);
	LL r=a*b-d*m;
	return r<0?r+m:r;
}
inline LL mpow(LL a,LL b,LL m)
{
	LL res=1;
	for(;b;b>>=1,a=mt(a,a,m)) if(b&1) res=mt(res,a,m);
	return res;
}
inline LL gcd(LL a,LL b)
{
	if(!a||!b) return a+b;
	int t=__builtin_ctzll(a|b);
	a>>=__builtin_ctzll(a);
	do
	{
		b>>=__builtin_ctzll(b);
		if(a>b) { LL t=b; b=a; a=t; }
		b-=a;
	}
	while(b!=0);
	return a<<t;
}
inline int isp(LL n)
{
	if(n==1) return 0;
	if(n==2||n==3||n==5) return 1;
	if(!(n&1)||(n%3==0)||(n%5==0)) return 0;
	LL m=n-1; int k=0;
	while(!(m&1)) m>>=1,++k;
	for(int i=0;i<pcnt&&ps[i]<n;++i)
	{
		LL x=mpow(ps[i],m,n),y=x;
		for(int i=0;i<k;++i)
		{
			x=mt(x,x,n);
			if(x==1&&y!=1&&y!=n-1) return 0;
			y=x;
		}
		if(x!=1) return 0;
	}
	return 1;
}
LL f[105]; int cnt;
inline LL nxt(LL x,LL n,LL a)
{
	LL t=mt(x,x,n)+a;
	return t<n?t:t-n;
}
const int M=(1<<7)-1;
inline LL rho(LL n)
{
	if(n%2==0) return 2; if(n%3==0) return 3;
	LL x=0,y=0,t=1,q=1,a=(rand()%(n-1))+1;
	for(int k=2;true;k<<=1,y=x,q=1)
	{
		for(int i=1;i<k;++i)
		{
			x=nxt(x,n,a);
			q=mt(q,abs(x-y),n);
			if(!(i&M))
			{
				t=gcd(q,n);
				if(t>1) break;
			}
		}
		if(t>1||(t=gcd(q,n))>1) break;
	}
	if(t==n) for(t=1;t==1;t=gcd(abs((x=nxt(x,n,a))-y),n));
	return t;
}
void solve(LL n)
{
	if(n==1) return;
	if(isp(n)) { f[cnt++]=n; return; }
	LL t=n; while(t==n) t=rho(n);
	solve(t); solve(n/t);
}
int main()
{
	int T; LL n;
	scanf("%d",&T);
	while(T-->0)
	{
		scanf("%lld",&n);
		cnt=0; solve(n); sort(f,f+cnt);
		if(cnt==1) puts("Prime");
		else printf("%lld
",f[cnt-1]);
	}
	return 0;
}

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严格O(log n)的质因数分解

#include<cstdio>
const int MN=300000;
const int MX=15000000;
int u[MX+5],p[MX+5],pn;
//u[i]=i的最小质因子
int main()
{
	int n,i,j;
	for(i=2;i<=MX;++i)
	{
		if(!u[i]) u[i]=p[++pn]=i;
		for(j=1;i*p[j]<=MX;++j) { u[i*p[j]]=p[j]; if(i%p[j]==0) break; }
	}
	scanf("%d",&n);
	for(;n>1;) printf("%d ",u[n]),n/=u[n];
	return 0;
}

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欧几里得算法与拓展欧几里得（拓欧）

#include<cstdio>
typedef long long LL;
LL a,b,x,y;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
	if(b==0) { x=1; y=0; return a; }
	LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=x*(a/b);
	return d;
}
int main()
{
#ifdef local
	freopen("pro.in","r",stdin);
#endif
	scanf("%lld%lld",&a,&b);
	exgcd(a,b,x,y);
	printf("%lld %lld
",x,y);
	return 0;
}

得出的(x_0)和(y_0)满足(ax_0+by_0=gcd(a,b))，方程(ax+by=c)的通解可表示为：
$ x= frac{c}{d} x_0+k frac{b}{d}, y= frac{c}{d} y_0 - k frac{a}{d} (k in mathbb{Z}) $ （有解当且仅当$ d|c $）

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费马小定理、欧拉定理与拓展欧拉定理

欧拉定理：若正整数(a)和(n)互质，则$ large a^{phi (n) } equiv 1 (mod ext{　}n)( 推论：若正整数)a(和)n(互质，则对于任何正整数)b(，有) large a^b equiv a^{b ext{　} mod ext{　} phi (n)} (mod ext{　} n)$
拓展欧拉定理：对于任何正整数 (a,b,n) ，且 $ b > phi (n) $ 时，有 $ large a^b equiv a^{b ext{　} mod ext{　} phi (n) + phi (n) } (mod ext{　} n)$ （ (a) 和 (n) 不一定互质）

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拓展中国剩余定理

令前k-1个方程的解为x，记$$L=lcm(m_1,m_2,...,m_{k-1})$$，则 $ x + i * m $ 为前k-1个方程的通解。
在第k个方程中，令 $ x + t * L equiv a_k pmod{ m_k }$
即 $$ L * t equiv a_k - x pmod{ m_k } $$
令 $ d = exgcd( L , m_k , t , r ) $，则 $ t = ( a_k - x) / d * t $ ， $ x = x + t * L $
注意：记得取模
代码：

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
        if(b==0) { x=1; y=0; return a; }
        LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=x*(a/b);
        return d;
}
int n;
LL x,L,t,r,a,m,d;
int main()
{
#ifdef local
        freopen("pro.in","r",stdin);
#endif
        scanf("%d",&n);
        scanf("%lld%lld",&m,&a); x=a; L=m;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
                scanf("%lld%lld",&m,&a);
                d=exgcd(L,m,t,r);
                x+=((a-x)%m+m)%m/d*t*L;
                L=L/d*m;
                x=(x%L+L)%L;
        }
        printf("%lld
",x);
        return 0;
}

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线性基

线性基本质上是一个和原有数集的异或空间相同的数集（把每个数二进制化后看成向量），可以搭配异或相关的计算。
求线性基有2种方法：
1.高斯消元(O(n^2 log n))
2.贪心法(O(n log n))
代码（贪心法）：

//依次用输入数集调用cal函数，p数组即为线性基，p[i]表示最高为在第i位的数（向量）
void cal(LL x)
{
    for(int i=62;i>=0;i--)
    {
        if(!(x>>i)) continue;
        if(!p[i])//唯一且不可替代
        {
            p[i]=x;
            break;
        }
        x^=p[i];//这一位没用了，作个基本行变换
    }
}

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逆元

费马小定理

inline int inv(int a,int b) { return ksm(a,b-2); }

欧拉定理

inline int inv(int a,int b) { return ksm(a,phi(b)-1); }

exgcd

inline int inv(int a,int b)
{
	int x,y;
	exgcd(a,b,x,y);
	return x;
}

线性递推逆元

inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;

线性递推阶乘逆元

inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
invf[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) invf[i]=invf[i-1]*inv[i]%p;