定义：$C_{n}^{m}equiv C_{n/p}^{m/p} * C_{n mod p}^{m mod p} (mod p)$
证明：1.由费马小定理可知$a^{p} equiv p(mod p)$
2.你需要知道二项式定理
3.$ herefore (1+x)^{p} equiv 1+x^{p} $——这个用前两个东西证就好
4.$ herefore (1+x)^{n}$
$=(1+x)^{(n/p) imes p} imes (1+x)^{n mod p}$
$equiv (1+x^{p})^{n/p} imes {1+x}^{n mod p}$
$equiv sumlimits_{i=0}^{n/p} C_{n/p}^{i} imes x^{pi} imes sumlimits_{j=0}^{n space mod space p} C_{nspace mod space p}^{j} imes x^{j}$
$equiv sumlimits_{i=0}^{n/p} sumlimits_{j=0}^{n mod p} C_{n/p}^{i} imes C_{nspace mod space p}^{j} imes x^{pi+j}$
对于$x^{m}$这一项，我们可以发现左边的式子中这一项的系数是$C_{n}^{m}$,而右边呢，$i=m/p$，$ j=m mod p ,C_{n/p}^{i} imes C_{nspace mod space p}^{j} imes x^{pi+j}$
$ herefore C_{n}^{m}equiv C_{n/p}^{m/p} imes C_{n mod p}^{m mod p} (mod p)$