洛谷P1471 方差

题目概括

题目描述

蒟蒻HansBug在一本数学书里面发现了一个神奇的数列，包含(N)个实数。他想算算这个数列的平均数和方差。

输入输出格式

输入格式

第一行包含两个正整数(N)、(M)，分别表示数列中实数的个数和操作的个数。

第二行包含(N)个实数，其中第(i)个实数表示数列的第(i)项。

接下来M行，每行为一条操作，格式为以下两种之一：

操作1：1 x y k ，表示将第(x)到第(y)项每项加上(k)，(k)为一实数。

操作2：2 x y ，表示求出第(x)到第(y)项这一子数列的平均数。

操作3：3 x y ，表示求出第(x)到第(y)项这一子数列的方差。

输出格式

输出包含若干行，每行为一个实数，即依次为每一次操作(2)或操作(3)所得的结果（所有结果四舍五入保留(4)位小数）。

输入输出样例

输入 #1

5 5
1 5 4 2 3
2 1 4
3 1 5
1 1 1 1
1 2 2 -1
3 1 5

输出 #1

3.0000
2.0000
0.8000

解题报告

题意理解

1. 区间加一个实数
2. 区间求平均数
3. 区间求方差

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算法解析

首先我们来推倒公式。

先拿出方差公式

[S^2 = frac{1}{n} * [(x_1 - overline{x})^2 + (x_2 - overline{x})^2 + ...+(x_n - overline{x})^2 ] ]

根据完全平方公式：

[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ]

因此带入参数进去

[(x_1-overline{x})^2=x_1^2+2xoverline{x}+overline{x}^2 ]

接着处理公式

[S^2 = frac{1}{n} * ({x_1}^2 - 2{x_1}overline{x} + {overline{x}^2} + {x_2}^2 - 2{x_2}overline{x} + {overline{x}^2} + ... + {x_n}^2 - 2{x_n}overline{x} + {overline{x}^2}) ]

然后稍微整理一下

[S^2 = frac{1}{n} * [({x_1}^2 + {x_2}^2 + ... + {x_n}^2)-2overline{x}(x_1 + x_2 + ...+x_n) + noverline{x}^2] ]

然后我们通过平均数公式可得

[noverline{x} = x_1 + x_2 + ... + x_n ]

将上面公式，导入方差公式

[S^2 = frac{1}{n} * [({x_1}^2 + {x_2}^2 + ... + {x_n}^2)-2noverline{x}^2 + noverline{x}^2] ]

代入后

[S^2 = frac{1}{n} * [({x_1}^2 + {x_2}^2 + ... + {x_n}^2)-noverline{x}^2] ]

因此我们得出了最后的公式

[S^2 = frac{({x_1}^2 + {x_2}^2 + ... + {x_n}^2)}{n} - overline{x}^2 ]

接着我们着重分析分子部分。

[x_1^2+x_2^2+dots+x_k^2 \\ ]

现在所有数增加(b)，则

[(x_1+b)^2+(x_2+b)^2+dots +(x_k+b)^2 \\ ]

然后定义一下

[令sum1=x_1+x_2+dots+x_k \\ 令sum2=x_1^2+x_2^2+dots+x_k^2 \\ ]

由之前的完全平方公式可得:

[(x_i+b)^2=x_i^2+2 imes x_i imes b+b^2\\ ]

然后带入之前的部分

[(x_1^2+x_2^2+dots+x_k^2)+2b imes (x_1+x_2+dots+x_k)+(b^2 imes k) \\ ]

最后载入定义

[sum2+2b imes sum1+b^2 imes k \\ ]

我们终于终于终于将公式打完了。。。。。。

现在我们就可以通过，线段树来维护本题目了。

1. 维护平方和
2. 维护区间和

请注意，在这里，我们肯定是要开两个(Lazy)标记的；。

但是要记住平方和的懒惰标记，是绝对高于区间和的懒惰标记。

因为，通过公式可得，平方和的修改，是要先使用区间和的。

如果说先修改区间和，那么平方和的修改必然出现问题。

---

代码解释

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Lson rt<<1,l,mid
#define Rson rt<<1 | 1,mid+1,r
#define mid  (l+r>>1)
#define len  (r-l+1)
const int N=1e5+20;
int n,m;
struct node
{
	double lazy,sum;
} t1[N<<2],t2[N<<2];
double a[N];
inline void Push_up(int rt)
{
	t1[rt].sum=t1[rt<<1].sum+t1[rt<<1 | 1].sum;
	t2[rt].sum=t2[rt<<1].sum+t2[rt<<1 | 1].sum;
}
void build(int rt,int l,int r)
{
	if (l==r)
	{
		t1[rt].sum=a[l];
		t2[rt].sum=a[l]*a[l];
		return;
	}
	build(Lson);
	build(Rson);
	Push_up(rt);
}
inline void Push_down(int rt,int l,int r)
{
	if (!(t1[rt].lazy || t2[rt].lazy))
		return ;
	t2[rt<<1].lazy+=t2[rt].lazy;
	t2[rt<<1].sum+=t1[rt<<1].sum*(t2[rt].lazy*2)+(mid-l+1)*(t2[rt].lazy*t2[rt].lazy);
	t2[rt<<1 | 1].lazy+=t2[rt].lazy;
	t2[rt<<1 | 1].sum+=t1[rt<<1 | 1].sum*(t2[rt].lazy*2)+(r-mid)*(t2[rt].lazy*t2[rt].lazy);
	t2[rt].lazy=0;
	t1[rt<<1].lazy+=t1[rt].lazy;
	t1[rt<<1].sum+=(mid-l+1)*t1[rt].lazy;
	t1[rt<<1 | 1].lazy+=t1[rt].lazy;
	t1[rt<<1 | 1].sum+=(r-mid)*t1[rt].lazy;
	t1[rt].lazy=0;
}
double Query(int rt,int l,int r,int L,int R,int x)
{
	if (L<=l && r<=R)
		return x==1 ? t1[rt].sum:t2[rt].sum;
	double ans=0;
	Push_down(rt,l,r);
	if (L<=mid)
		ans+=Query(Lson,L,R,x);
	if (R>mid)
		ans+=Query(Rson,L,R,x);
	return ans;
}
void Update(int rt,int l,int r,int L,int R,double v)
{
	if (L<=l && r<=R)
	{
		t2[rt].lazy+=v;
		t2[rt].sum+=t1[rt].sum*(v*2)+len*(v*v);
		t1[rt].lazy+=v;
		t1[rt].sum+=len*v;
		return ;
	}
	Push_down(rt,l,r);
	if (L<=mid)
		Update(Lson,L,R,v);
	if (R>mid)
		Update(Rson,L,R,v);
	Push_up(rt);
}
inline void init()
{
//	freopen("data.in","r",stdin);
//	freopen("a.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1; i<=n; i++)
		scanf("%lf",&a[i]);
	build(1,1,n);
	while(m--)
	{
		int x,a,b;
		scanf("%d%d%d",&x,&a,&b);
		if (x==1)
		{
			double c;
			scanf("%lf",&c);
			Update(1,1,n,a,b,c);
		}
		if (x==2)
			printf("%.4lf
",Query(1,1,n,a,b,1)/((b-a+1)*1.0));
		if (x==3)
		{
			double cnt=(b-a+1)*1.0;
			double ans=Query(1,1,n,a,b,2)/cnt,x_ba=Query(1,1,n,a,b,1)/cnt;
			double ans2=x_ba*x_ba;
			ans-=ans2;
			printf("%.4lf
",ans);
		}
	}
}
signed main()
{
	init();
	return 0;
}