动态规划从入门到精通（一）-入门篇
2018年04月22日 12:16:16 食鱼酱 阅读数 10426更多
大三的春招，由于自己的不足，过得十分艰难。
在各大公司的笔试题中，动态规划是一个必考点。突然冒出一个想法，写一个“动态规划从入门到精通”系列，与各大网友一起交流学习。
学习动态规划，愚认为，就是解决以下的三个问题：
什么是动态规划？什么时候要用动态规划？怎么使用动态规划？
让我们一个一个来解决！
1、什么是动态规划？
这里参考百度百科，动态规划是求解决策过程最优化的数学方法。把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
2、什么时候要用动态规划？
如果要求一个问题的最优解（通常是最大值或者最小值），而且该问题能够分解成若干个子问题，并且小问题之间也存在重叠的子问题，则考虑采用动态规划。
3、怎么使用动态规划？
我把下面称为动态规划五部曲：
1. 判题题意是否为找出一个问题的最优解
2. 从上往下分析问题，大问题可以分解为子问题，子问题中还有更小的子问题
3. 从下往上分析问题 ，找出这些问题之间的关联（状态转移方程）
4. 讨论底层的边界问题
5. 解决问题（通常使用数组进行迭代求出最优解）
纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。举几个例子：
例子1：
剑指Offer（第二版）面试题14：剪绳子
给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段 (m和n都是整数，n>1并且m>1)每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m].请问k[0]k[1]…*k[m]可能的最大乘积是多少？
例如，当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2,3,3的三段，此时得到的最大乘积是18.
看完题目，我们按照上面提到的“动态规划五部”解决问题
1、判题题意是否为找出一个问题的最优解
看到字眼是“可能的最大乘积是多少”，判断是求最优解问题，可以用动态规划解决；
2、从上往下分析问题，大问题可以分解为子问题，子问题中还有更小的子问题
题目中举了个例子：当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2,3,3的三段，此时得到的最大乘积是18；我们可以从这里开始突破，把长度为8绳子的最大乘积分解为数个子问题，长度为8我们可以把它看成长度为1和7的绳子的和，或者长度 为2和6的绳子的和，或者长度为3和5的绳子的和and so on!
到这里，相信大家已经看到一丝真理了吧？
3. 从下往上分析问题 ，找出这些问题之间的关联（状态转移方程）
在第二点时，我们已经从上到下分析问题了，现在我们要从下往上分析问题了。分析可知，
f(8) 的值就是f(1)*f(7),f(2)*f(6),f(3)*f(5),f(4)*f(4)它们之中的最小值，即f(8) = Max{f(1)*f(7),f(2)*f(6),f(3)*f(5),f(4)*f(4)}
只要知道f(1)到f(7)的值就能求出f(8)；对于f(7)，只要知道f(1)到f(6)的值就能求出f(6)；对于f(6)，只要知道f(1)到f(5)的值就能求出f(6)；以些类推，我们只要知道前几个边界的值，就能一步步迭代出后续的结果!
状态转移方程： f(n)=Max{f(n-i)*f(i)} i={1,2,3,…,n/2}
4. 讨论底层的边界问题
底层的边界问题说的就是最小的前几个数值的f(n)的值，本题中就是f(0)、f(1)、f(2)、f(3)的值
对于f(0)，长度为0的绳子，没办法剪，没有意义
对于f(1)，长度为1的绳子，没办法剪，设为1
对于f(2)，长度为2的绳子，只有一种剪法，剪成两段长度为1的绳子，但剪后的乘积为1，比自身更小；如果不是求自身的值，要求乘积最大值的话就没必要剪。
对于f(3)，长度为3的绳子，只有一种剪法，剪成两段长度为1和2的绳子，但剪后的乘积为2，比自身更小；如果不是求自身的值，要求乘积最大值的话也没必要剪。
5、解决问题
这一部就是写代码了
public static int cutting(int n) {
//长度小于等等于1没办法剪
if(n <= 1)
return 0;
//对于f(2)，长度为2的绳子，只有一种剪法，剪成两段长度为1的绳子，剪后的乘积为1
if(n == 2)
return 1;
//对于f(3)，长度为3的绳子，只有一种剪法，剪成两段长度为1和2的绳子，但剪后的乘积为2
if(n == 3)
return 2;
int max = 0;
//数组用于存储绳子乘积最大值
int value[] = new int[n + 1];
value[0] = 0;
value[1] = 1;
//剪后的乘积为1，比自身更小；如果不是求自身的值，要求乘积最大值的话就没必要剪
value[2] = 2;
//剪后的乘积为2，比自身更小；如果不是求自身的值，要求乘积最大值的话也没必要剪
value[3] = 3;
//从f(4)开始迭代
for(int i = 4;i <= n; i++) {
max = 0;
for(int j = 1;j <= i/2; j++) {
int val = value[j] * value[i - j];
max = val > max ? val : max;
}
value[i] = max;
}
max = value[n];
return max;
}对于刚学习动态规划的同学，看完上面那题会有点吃力吧？那我们再来一题简单的，给大家增加信心！
例子2：
跳台阶问题
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个n级台阶总共有多少种跳法。
1、判题题意是否为找出一个问题的最优解
这个我还真的看不出，直觉判断这题可以通过动态规划迭代出来….有经验的网友可以分享下看法，指导一下本小白白。
2、从上往下分析问题，大问题可以分解为子问题，子问题中还有更小的子问题
题目中没有给粟子，我们可以自己举点粟子。例如，跳上一个6级台阶台阶，有多少种跳法；由于青蛙一次可以跳两阶，也可以跳一阶，所以我们可以分成两个情况
1、青蛙最后一次跳了两阶，问题变成了“跳上一个4级台阶台阶，有多少种跳法”
2、青蛙最后一次跳了一阶，问题变成了“跳上一个5级台阶台阶，有多少种跳法”
由上可得f(6) = f(5) + f(4);
由此类推，f(4)=f(3) +f(2)
3.、从下往上分析问题 ，找出这些问题之间的关联（状态转移方程）
跟上面的例题一相同，可以由f(1)逐渐迭代上去
由2可得，状态转移方程为：f(n)=f(n-1)+f(n-2)
4、边界情况分析
跳一阶时，只有一种跳法，所以f(1)=1
跳两阶时，有两种跳法，直接跳2阶，两次每次跳1阶，所以f(2)=2
跳两阶以上可以分解成上面的情况
5、解决问题
public static int jump(int n) {
//无意义的情况
if(n <= 0)
return 0;
if(n == 1)
return 1;
if(n == 2)
return 2;
//数组用于存储跳n阶的跳法数
int[] value = new int[n + 1];
value[0] = 0;
value[1] = 1;
value[2] = 2;
for(int i = 3; i <= n; i++) {
value[i] = value[i - 1] + value[i - 2];
}
return value[n];
}参考资料
百度百科——动态规划
《面试–动态规划》 —五种经典的算法问题——https://blog.csdn.net/tongxinzhazha/article/details/77407648
《剑指Offer（第二版）》（何海涛著）