基础数论--欧拉定理，逆元

1、欧拉定理

欧拉定理，若a与p互质，那么a ^ (phi[n]) ≡ 1   (mod n)

证明：假设x1,x2....x(phi[n])是1~n中与n互质的数

　　　　可以发现，他们是两两不同的。

　　　　将每个数都乘以a，得ax1,ax2....ax(phi[n])

　　　　假设我们已经证明在mod n的情况下，x1*x2*...*x(phi[n])=ax1*ax2*....ax(phi[n])

　　　　又因为x1,x2...x(phi[n])两两互质，所以x1*x2*...*x(phi[n]) ! = 0，所以 a ^ (phi[n]) ≡ 1   (mod n)

　　　　

　　　　那么我们就只需要证明在mod n的情况下，x1*x2*...*x(phi[n])=ax1*ax2*....ax(phi[n])

　　　　证：ax1,ax2...两两不同

　　　　　　反证，假设axi = axj (mod n)，则a(xi - xj ) = 0，由于 a 与 n 互质 ，xi - xj​ 不可能是 n 的倍数，所以模 n 一定不为 0 。

　　　　故a ^ (phi[n]) ≡ 1   (mod n)得证。

2、费马小定理

　　费马小定理只是欧拉定理的一个特殊情况，当n是质数时，phi[n]=n-1，此时a^(n-1)=1 (mod n)

3、逆元

　　若整数b，n互质，并且对于任意的整数 a，如果满足b|a，则存在一个整数x，使得a/b≡a∗x(mod n)，则称x为b的模m乘法逆元

　　求逆元之一

　　若n是质数且b不能被n整除，那么根据费马小定理，b^(n-1)=1(mod n)，所以b的逆元为b^(n-2)

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
int qmi(LL a,LL b,LL p){
    LL res=1;
    while(b){
        if(b&1){
            res=res*a%p;
        }
        b>>=1;
        a=a*a%p;
    }
    return res;
}
int main(void){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int a,p;
        cin>>a>>p;
        if(a%p!=0)
            cout<<qmi(a,p-2,p)<<endl;
        else
            cout<<"impossible"<<endl;
    }
    return 0;
}

　　　　求逆元之二

　　　　若n不为质数的话，b关于n的逆元就不能用费马定理来求了，因为此时不成立

　　　　就只能用费马小定理更加通用的格式欧拉定理来求了

　　　　　　b^(phi[n])=1 (mod n)

　　　　所以我们得先求出phi[n]，再求b的逆元

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
int qmi(LL a,LL b,LL p){
    LL res=1;
    while(b){
        if(b&1){
            res=res*a%p;
        }
        b>>=1;
        a=a*a%p;
    }
    return res;
}
int get_phi(int n){
    int res=n;
    for(int i=2;i<=n/i;i++){
        if(n%i==0){
            res=res/i*(i-1);
            while(n%i==0){
                n/=i;
            }
        }
    }
    if(n>1){
        res=res/n*(n-1);
    }
    return res;
}
int main(void){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int a,p;
        cin>>a>>p;
        int t=get_phi(p);
        if(a%p!=0)
            cout<<qmi(a,t-1,p)<<endl;
        else
            cout<<"impossible"<<endl;
    }
    return 0;
}

但是这种方法的时间复杂度是有点难以接受的，达到了O(sqrt(n))，瓶颈是求phi[n]

　　　　求逆元之三

　　　　扩展欧几里得算法可以求出xa+yb=gcd(a,b)

　　　　所以他可以求同余方程 xa=b (mod m)  =>  xa=b+ym  =>  xa+y′ m=b(y′ =-y)

　　　　那么他也可以求逆元a mod n的逆元是a*x=1 (mod n) ，x就称为a的逆元

　　　　 　　=> 　x*a + y*n = 1

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
int exgcd(int a,int b,LL& x,LL& y){//尽量写LL，因为怕超int
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }else{
        int d=exgcd(b,a%b,y,x);
        y=y-(a/b)*x;
        return d;
    }
}
int main(void){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int a,p;
        LL x,y;
        cin>>a>>p;
        int d=exgcd(a,p,x,y);
        if(a%p==0){
            cout<<"impossible"<<endl;
        }else{
            cout<<(x/d+p)%p<<endl;//因为x*a + y*n = gcd(a,p) ,所以左右除以一个gcd(a,p)
        }
    }
    return 0;
}