在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）
互质指的就是gcd(a,b)=1。
所以对于某个数n，求他的欧拉函数可以直接用暴力。
1 int gcd(int a,int b){ 2 return b==0?a:gcd(b,a%b); 3 } 4 int get_phi(int n){ 5 int res=0; 6 for(int i=1;i<=n;i++){ 7 if(gcd(i,n)==1){ 8 res++; 9 } 10 } 11 return res; 12 }
但是这种方法时间复杂度为n*logn，显然过高，只能寻找其他方法
根据唯一分解定理，n=p1^a1*p1^a2...，只要将n的质因子的倍数都删掉，就是n的欧拉函数的值，这是因为如果某个数和n的约数不为1，那么这个约数也必然是n的因子
phi[n]=n-n/p1-n/p2-n/p3...
但是既是p1的倍数又是p2的倍数的数又被删了两遍（被p1删一遍，p2删一遍），把他们加上
phi[n]=n-n/p1-n/p2-n/p3...+n/p1p2+n/p2p3+...
而此时又多加一遍了同时是p1 p2 p3的倍数的数（p1+，p2+， p3+， p1p2-，p2p3-，p1p3- ）
这时候应该已经发现规律了，经过整理之后
phi[n]=n(1-1/p1)(1-1/p2)...
观察每一项可发现公式是正确的，代码实现
1 int get_phi(int n){ 2 int res=n; 3 for(int i=2;i<=n/i;i++){ 4 if(n%i==0){ 5 res=res/i*(i-1);//据唯一分解定理，这里的res/i一定是整除 6 while(n%i==0){ 7 n/=i; 8 } 9 } 10 } 11 if(n>1){ 12 res=res/n*(n-1); 13 } 14 return res; 15 }
时间复杂度为sqrt(n)
有时候会有一种需求，就是求出1~n每个数的欧拉函数的值
如果用上述的方法，时间复杂度为n*sqrt(n)，1e6的数据救过不了了
这时候线性筛就派上用场了
线性筛代码：
1 int get_primes(int n){ 2 for(int i=2;i<=n;i++){ 3 if(!st[i]){ 4 primes[cnt++]=i; 5 } 6 for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){ 7 st[primes[j]*i]=true; 8 if(i%primes[j]==0) break; 9 } 10 } 11 return cnt; 12 }
之前已经论证过了，线性筛中每一个数只会被筛到一次，并且不管 i 是合数或质数，在 i 的倍数之前 i 的状态一定被确定了
如果能够从 i 的phi值得出 pj * i 的phi值就解决了这个问题了
那么就需要用到以下性质和公式
1、如果p是质数，那么phi[p]=p-1
2、phi[n]=n(1-1/p1)(1-1/p2)...
1 LL get_phis(int n){ 2 LL res=1; 3 for(int i=2;i<=n;i++){ 4 if(!st[i]){ 5 primes[cnt++]=i; 6 phi[i]=i-1; 7 res+=phi[i]; 8 } 9 for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){ 10 st[primes[j]*i]=true; 11 if(i%primes[j]==0){ 12 phi[primes[j]*i]=primes[j]*phi[i]; 13 res+=phi[primes[j]*i]; 14 break; 15 }else{ 16 phi[primes[j]*i]=(primes[j]-1)*phi[i]; 17 res+=phi[primes[j]*i]; 18 } 19 } 20 } 21 return res; 22 }
算法复杂度O(n)
