前言
想必大家都听过数据挖掘领域那个经典的故事 - "啤酒与尿布" 的故事。
那么，具体是怎么从海量销售信息中挖掘出啤酒和尿布之间的关系呢？
这就是关联分析所要完成的任务了。
本文将讲解关联分析领域中最为经典的Apriori算法，并给出具体的代码实现。
关联分析领域的一些概念
1. 频繁项集: 数据集中经常出现在一起的物品的集合。例如 "啤酒和尿布"
2. 关联规则: 指两个物品集之间可能存在很强的关系。例如 "{啤酒} -> {尿布}" 就是一条关联规则。
3. 支持度: 数据集中，出现了某个物品集的数据项占总数据项的比重（某些地方也解释为次数）。
4. 可信度: 这个概念是针对某条关联规则而定的。它是指两个物品集的支持度和其中某个物品集的支持度之比，如 "支持度{啤酒，尿布} / 支持度{尿布}"。
因此，用这些属于来解释啤酒与尿布的故事，那就是：{啤酒，尿布}是一个频繁项集；"{啤酒} -> {尿布}" 就是一条关联规则；顾客买尿布的同时买啤酒的可能性为 "支持度{啤酒，尿布} / 支持度{尿布}"。
那么对海量的数据，假如要得到支持度大于0.8的所有频繁项集，该怎么做？
如果用蛮力法一个个统计，是根本不现实的，那样计算量实在太大。
本文将要介绍的Apriori关联分析算法意义就在于能够大幅度减少这种情况的计算量，并从频繁项集中高效检索出关联规则，从而大大减少关联规则学习所需要消耗的计算量。
Apriori算法基本原理
如果{0,1}是频繁项集，那么{0}和{1}也都是频繁项集。
这显然是正确的命题。
其逆否命题 - ”如果{0}和{1}不都是频繁项集，那么{0,1}不是频繁项集" 自然也是正确的。-> 这就是 Apriori 算法的核心思想之一。
这样，一旦发现某个集合不是频繁项集，那么它的所有超集也都不是频繁项集，就不用浪费功夫去对它们进行检索了。
检索出频繁项集之后，接下来检索出所有合乎要求的关联规则。
如果某条规则不满足最小可信度要求，那么该规则的所有子集也不会满足。 -> 这是 Apriori 算法的核心思想的另一部分。
PS：这里务必思考清楚规则是怎么划分的，什么叫某个规则的子集。
这样，和上一步同理，也能高效的从频繁项集中检索出关联规则了。
具体实现将分为频繁集检索和关联规则学习两个部分进行讲解。
频繁项集检索实现思路与实现代码
一种经典的实现方法是 "分级法"：
算法框架是在两个大的步骤 - 筛选/过滤之间不断迭代，直到所有情况分析完毕。
每次筛选的结果都要指定元素个数的情况，因此所谓分级，也就是依次讨论指定元素个数情况的项集。
在筛选之后，就是过滤。
过滤有两层意义，一个是项集必须在数据集中存在。这是第一层过滤；还有一层过滤，是指支持度过滤。只有满足支持度要求的项集才能保存下来。
过滤之后，基于过滤集再进行筛选，每次筛选的元素个数都比上一次筛选的元素个数多一个。
然后继续过滤。如此反复，直到最后一次筛选过滤完成。
伪代码实现：
1 当集合中项的个数大于0时: 2 构建一个 k 个项组成的候选项集的列表 3 检查数据以确认每个项集都是频繁的 4 保留频繁项集并构建 k+1 项组成的候选项集列表
其中检查每个项集是否频繁部分的伪代码：
1 对数据集中的每条交易记录: 2 对每个候选集元素: 3 检查是否为数据集元素，是才保留。 4 对每个数据集 5 如果支持度达到要求才保留 6 返回过滤后的频繁项集 - 也即过滤集
Python实现及测试代码：
1 def loadDataSet():
2 '返回测试数据'
3
4 return [[1, 3, 4], [2, 3, 5], [1, 2, 3, 5], [2, 5]]
5
6 #===================================
7 # 输入:
8 # dataSet: 数据集
9 # 输出:
10 # map(frozenset, C1): 候选集
11 #===================================
12 def createC1(dataSet):
13 '创建候选集'
14
15 C1 = []
16 for transaction in dataSet:
17 for item in transaction:
18 if not [item] in C1:
19 C1.append([item])
20
21 C1.sort()
22
23 # 返回的集合元素都是frozenset类型 -> 因为以后要用来做键。
24 return map(frozenset, C1)
25
26 #=============================================
27 # 输入:
28 # D: 数据集 (set格式)
29 # Ck: 候选集
30 # minSupport: 最小支持度
31 # 输出:
32 # retList: 过滤集
33 # supportData: 支持集(挖掘关联规则时使用)
34 #=============================================
35 def scanD(D, Ck, minSupport):
36 '由候选集得到过滤集'
37
38 # 统计候选元素出现的次数
39 ssCnt = {}
40 for tid in D:
41 for can in Ck:
42 if can.issubset(tid):
43 if not ssCnt.has_key(can): ssCnt[can]=1
44 else: ssCnt[can] += 1
45
46 # 构建过滤集和支持集
47 numItems = float(len(D))
48 retList = []
49 supportData = {}
50 for key in ssCnt:
51 support = ssCnt[key]/numItems
52 if support >= minSupport:
53 retList.insert(0,key)
54 supportData[key] = support
55
56 return retList, supportData
57
58 #===================================
59 # 输入:
60 # Lk: 过滤集
61 # k: 当前项集元素个数
62 # 输出:
63 # retList: 候选集
64 #===================================
65 def aprioriGen(Lk, k):
66 '由过滤集得到候选集'
67
68 # 重组过滤集，得到新的候选集。
69 retList = []
70 lenLk = len(Lk)
71 for i in range(lenLk):
72 for j in range(i+1, lenLk):
73 # 留意下重组技巧
74 L1 = list(Lk[i])[:k-2]; L2 = list(Lk[j])[:k-2]
75 L1.sort();
76 L2.sort()
77 if L1==L2:
78 retList.append(Lk[i] | Lk[j])
79
80 return retList
81
82 #=============================================
83 # 输入:
84 # dataSet: 数据集
85 # minSupport: 最小支持度
86 # 输出:
87 # L: 频繁集
88 # supportData: 支持集(挖掘关联规则时使用)
89 #=============================================
90 def apriori(dataSet, minSupport = 0.5):
91 '求频繁项集及其对应支持度'
92
93 C1 = createC1(dataSet)
94 D = map(set, dataSet)
95 L1, supportData = scanD(D, C1, minSupport)
96 L = [L1]
97 k = 2
98 while (len(L[k-2]) > 0):
99 Ck = aprioriGen(L[k-2], k)
100 Lk, supK = scanD(D, Ck, minSupport)
101 supportData.update(supK)
102 L.append(Lk)
103 k += 1
104
105 return L, supportData
106
107 def main():
108 'Apriori频繁集检索'
109
110 L, s = apriori (loadDataSet())
111
112 print L
113 print s
测试结果：
关联规则学习实现思路与实现代码
上一部分的工作是从数据集中检索出频繁集；而这一部分是根据频繁集学习关联规则。
上一部分的工作是通过筛选集中的元素个数进行分级；而这一部分是针对规则右部的元素个数进行分级。
另外还要注意，只用检索单个频繁集之内的关联规则就可以了。
实现代码：
1 #=================================== 2 # 输入: 3 # L: 频繁集 4 # supportData: 支持集 5 # minConf: 最小可信度 6 # 输出: 7 # bigRuleList: 规则集 8 #=================================== 9 def generateRules(L, supportData, minConf=0.7): 10 '从某个频繁集中学习关联规则' 11 12 bigRuleList = [] 13 for i in range(1, len(L)): 14 for freqSet in L[i]: 15 H1 = [frozenset([item]) for item in freqSet] 16 if (i > 1): 17 rulesFromConseq(freqSet, H1, supportData, bigRuleList, minConf) 18 else: 19 calcConf(freqSet, H1, supportData, bigRuleList, minConf) 20 return bigRuleList 21 22 #=================================== 23 # 输入: 24 # L: 频繁集 25 # supportData: 支持集 26 # minConf: 最小可信度 27 # 输出: 28 # bigRuleList: 规则集 29 #=================================== 30 def calcConf(freqSet, H, supportData, brl, minConf=0.7): 31 '可信度过滤' 32 33 prunedH = [] 34 for conseq in H: 35 conf = supportData[freqSet]/supportData[freqSet-conseq] 36 if conf >= minConf: 37 brl.append((freqSet-conseq, conseq, conf)) 38 prunedH.append(conseq) 39 40 return prunedH 41 42 def rulesFromConseq(freqSet, H, supportData, brl, minConf=0.7): 43 '从某个频繁项集中学习关联规则' 44 45 # 本次学习的规则右部中的元素个数 46 m = len(H[0]) 47 if (len(freqSet) > (m + 1)): 48 # 重组规则右部 49 Hmp1 = aprioriGen(H, m+1) 50 # 规则学习 51 Hmp1 = calcConf(freqSet, Hmp1, supportData, brl, minConf) 52 if (len(Hmp1) > 1): 53 # 递归学习函数 54 rulesFromConseq(freqSet, Hmp1, supportData, brl, minConf) 55 56 def main(): 57 '关联规则学习' 58 59 L, s = apriori (loadDataSet()) 60 61 rules = generateRules(L, s) 62 print rules
测试结果：
测试数据为: [[1, 3, 4], [2, 3, 5], [1, 2, 3, 5], [2, 5]]。
结果的意思也就是说：1->3，5->2，2->5 的概率为 1。
显然这是和预计相吻合的。
小结
1. Apriori关联算法在网络购物网站中用的非常多，可以基于此算法搭建商品推荐系统。
2. 但Apriori算法也有一个缺点，那就是频繁集的检索速度还是不够快，因为每级都要重新检索一遍候选集(虽然候选集越来越小)。
3. 针对 2 中的问题，下篇文章将介绍一个更为强大的发现频繁集的算法 - FP-growth。(PS：但它不能用来发现关联规则)