本文是一个笨比学习组合数学的学习笔记，因为是笨比，所以写的应该算是很通俗易懂了。
首先，我们考虑这么一个问题：你有无穷多的(p)种颜色的珠子，现在你想要的把他们中的(n)个以圆形的形状等间距的黏在一个可以旋转的圆盘上，求方案数。
然后，该问题的答案是 (frac{1}{n}Sigma_{d|n}phi(frac{n}{d})p^d) ,之中(phi())表示欧拉函数，下面解释一下为什么会出现这样一个公式。
首先，我们来复习一下polya定理：设一个序列上定义了一置换群(|G|)，则对该序列做(p)种颜色的染色，方案数为(frac{1}{|G|}Sigma^{|G|}_{i=1}p^{c_i})，之中，(|G|)表示置换群大小（元素个数），(c_i)表示(G)中第(i)个置换的循环节数目。
那么在上述圆排列问题中，置换群也就是旋转变换的群了，注意这里不考虑翻转变换（这也是为什么题目里说要黏在可旋转的圆盘上的原因，这样就和翻转变换无关了）。那么显然，一个有(n)个珠子的圆环，一共对应了(n)种旋转变换，分别是从转(1)个单位到转(n)个单位（也就是不转，或者说转0个单位）的(n)种。因此，置换群大小(|G|=n)。
把(|G|=n)代入polya的公式里，得到(ans=frac{1}{n}Sigma^{n}_{i=1}p^{c_i})，那么对比真正的答案，接下来要说明的就是，为什么(Sigma^{n}_{i=1}p^{c_i}=Sigma_{d|n}phi(frac{n}{d})p^d)。
答案其实简单的有些弱智：合并同类项
(Sigma^{n}_{i=1}p^{c_i})这一式子里，其实有(n)项，那么很自然的一个想法就是：(p^{c_i})是不是有不少重复的呢？事实上，是的，甚至只有(sqrt{n})种不同的(p^{c_i})。
下面随便假设有个指数(d)，那我想知道(Sigma^{n}_{i=1}p^{c_i})，有几个(p^d)出现，也就是有几个(c_i=d)。回忆一下，这里(c_i)指的是第(i)个置换循环节的数量，这个要怎么求呢？这里需要一个简单但nb的小知识：
定理：对于(n)个珠子组成的圆的旋转变换来说，旋转了(x)个单位的变换对应的循环节数量有(gcd(n,x))个。
不是证明的证明：考虑一个青蛙跳石头的问题，也就是有(n)块石头圆形排列，编号从(0)至(n-1)，青蛙初始在(pos)的位置，每次青蛙会跳x步，那么青蛙跳一步就相当于(pos=(pos+x)%k)，现在，请问青蛙一直跳下去，能踩到多少块石头。例如，(n=6,x=4,pos=2)时，青蛙就只能跳到编号为(0,2,4)的三块儿石头上。该问题的答案是(frac{n}{gcd(n,x)})，这个证明略了，这是个比较好理解但不太好表述的数论结论。
那么，如果我们把旋转(x)个单位的置换群理解成每步跳(x)格的青蛙的话，就有循环节长度 = 青蛙能跳到的石头个数 = (frac{n}{gcd(n,x)}) 。又因为从青蛙的例子里可以看出，该长度和青蛙初始的(pos)无关，所以所有的循环节长度都是(frac{n}{gcd(n,x)})。
进而，由于 n=循环节长度*循环节数量，就可以解得循环节数量为(gcd(n,x))，这就是旋转(x)对应置换的循环节数量。
书归正传，我们现在想知道的是，给定一个整数(d)，有几个(p^d)出现在(Sigma^{n}_{i=1}p^{c_i})中，或者说多少个(c_i=d)。(c_i)的含义是循环节数量，也就是对于(xin [1,n])，有多少个(x)对应的循环节数量是(d)。废话不多说，按刚才的结论，这也就是问有多少个(x)满足(gcd(n,x)=d)。
有多少个(x)满足(gcd(n,x)=d)：这又是个数论问题，首先，变换成(gcd(frac{n}{d},frac{x}{d})=1)，这个变换是科学的，因为(gcd(n,x)=d)中(n)和(x)一定是(d)的倍数。那么，有多少个(x)满足(gcd(frac{n}{d},frac{x}{d})=1)呢？由于满足(gcd(frac{n}{d},狗)=1)的狗有(phi(n/d))个（根据欧拉函数的定义），而狗和(x)显然是一一对应的，所以这样的(x)就也有(phi(n/d))个。
所以，(ans=frac{1}{n}Sigma^{n}_{i=1}p^{c_i}=frac{1}{n}Sigma_{d|n}phi(frac{n}{d})p^d)，这里(d|n)是因为根据上面推导，循环节数量(d)显然一定是(n)的因子。