产品排序 product

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【问题描述】
　　你是一个公司的员工,你会按时间顺序受到一些产品的订单,你需要用一个栈来改变这些订单的顺序(每个产品都必须入栈和出栈一次)。
　　按初始顺序,每次可以将一个产品入栈,或将栈顶产品弹至现在的序列末尾。

　　每个产品有一个制作时间t i 和单位时间惩罚值d i 。

　　总的惩罚值为∑ ni=1 (s i × d i ),其中s i 为第i个产品的完成时间,你需要最小化总的惩罚值。
【输入】
　　输入文件 product.in。
　　第一行一个数n,表示产品个数。
　　接下来n行,每行两个数表示t i , d i 。
【输出】
　　输出文件 product.out。
　　一行一个数表示最小的总惩罚值。

【样例输入】

　　4

　　1 4

　　3 2

　　5 2

　　2 1

【样例输出】

　　40

【数据范围】

　　30%: n ≤ 15
　　50%: n ≤ 100
　　100%: n ≤ 200, t i , d i ≤ 1000

正解：

　　f[l][r] : 标号 l~r 的最小惩罚值 （时间上以开始生产[ l , r ]的产品为起始）

　　< st[ ] 为时间前缀和 sd[ ] 为单位时间惩罚值前缀和>

　　在[l,r] 中枚举 i , i 为 [l,r]中最后一个出栈的元素 即栈中最后一个元素

　　f[l][r]=min(f[l][r],f[l][i-1]+f[i+1][r]+(st[i-1]-st[l-1])*(sd[r]-sd[i])+(st[r]-st[l-1])*d[i]);

　　这个转移方程式我真的想了差不多十分钟才看懂

　　如下：(一定要仔细,耐心理解 qwq)

　　i 为最后一个出栈的元素 所以 l ~ i-1 一定在 i 进栈前就出栈了(否则它们现在就还在栈中)

　　f[l][i-1] 和 f[i+1][r] 都只与它们内部的顺序以及 [ l , i ]的总时间有关

　　是两个互不相关的子问题

　　(st[r]-st[l-1])*d[i]) 是 i 的惩罚值 很好理解

　　(st[i-1]-st[l-1])*(sd[r]-sd[i]) 我觉得是一个很巧妙的地方啊

　　我觉得我现在说不清楚 要自己领会一下qwq

　　但是我还是要大概说一下<这里用记忆化搜索实现的>

　　　　　　是加法结合律的逆向运用

　　　　　　然后保证了计算f[i+1][r]的时间是包括[l,r]中比它们先出去的产品的完成时间的

　　　　　　至于内部的顺序问题 又到下一层函数解决了

　　　　　　层层递归

 CODE

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define LY(p) freopen (p".in", "r", stdin); freopen (p".out", "w", stdout)
#define LL long long
#define dbl double
#define lf long double
#ifdef WIN32
#define L_L "%I64d"
#else
#define L_L "%lld"
#endif
#define N 210
int n, t[N], d[N], st[N], sd[N];
LL f[N][N];

int main()
{
    scanf ("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf ("%d %d", &t[i], &d[i]);
        st[i] = st[i - 1] + t[i];
        sd[i] = sd[i - 1] + d[i];
    }

    memset (f, 0x3f, sizeof (f));
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        f[i][i] = d[i] * t[i], f[i][i - 1] = 0;
    f[n + 1][n] = 0;

    for (int l = 1; l < n; l++)
        for (int i = 1; i + l <= n; i++)
        {
            int j = i + l;
            for (int k = i; k <= j; k++)
                f[i][j] = min
                    (f[i][k - 1] + f[k + 1][j] + 1LL * (st[k - 1] - st[i - 1]) * (sd[j] - sd[k]) + 1LL * (st[j] - st[i - 1]) * d[k], f[i][j]);
        }

    printf (L_L, f[1][n]);
    return 0;
}

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define go(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;i++)
#define ll long long
#define M 201
#define inf 21000000000000
using namespace std;
ll read()
{
    int x=0,y=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') y=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
    return x*y;
}
ll n,t[M],d[M],st[M],sd[M],f[M][M];
ll dfs(int l,int r)
{
    if(l>r) return 0;
    if(l==r) return t[l]*d[l];
    if(f[l][r]) return f[l][r];
    f[l][r]=inf;
    go(i,l,r)
        f[l][r]=min(f[l][r],dfs(l,i-1)+dfs(i+1,r)+(st[r]-st[l-1])*d[i]+(st[i-1]-st[l-1])*(sd[r]-sd[i]));
    return f[l][r];
}
int main()
{
    n=read();
    go(i,1,n)
    {
        t[i]=read();st[i]=st[i-1]+t[i];
        d[i]=read();sd[i]=sd[i-1]+d[i];
    }
    printf("%lld",dfs(1,n));
    return 0;
}