https://loj.ac/problem/10068
题目描述
给出一张图，求它的严格次小生成树。
思路
我们考虑最小生成树和严格次小生成树的关系，由于它只要求出边权和，所以我们可以只求出一种最小生成树。我们假如已知最小生成树(T)，那么其中一种严格次小生成树必定是断掉(T)一条边，再加入连接(T1)、(T2)的第二边权的边，这样必定有一种是次小生成树。或者说，我们不断尝试加入一条边，这样就和最小生成树形成一棵基环树，我们从环中去掉最长的一条边(除加入的边)，这样也会有一种是次小生成树。
我们先来证明算法思路的正确性。首先，对于第一种思路我们很容易证明这一定还是一棵生成树，而对于每两个连通支的合并，除一次合并外选择都是最小边权，所以必定有一次合并会是次小生成树。而对于第二种思路，它也肯定是一棵生成树，我们也是类似的思想，相当于在(prim)时除一条边外选择了次小边，所以也是一棵次小生成树。其实两个思路本质是相同的。
求次小生成树算法：(①Kruskal)；(②)倍增；(③Prim)。
基本的公式是(SecondMST=min(MST+w(u, v)-Max(u, v))) (((u, v) MST))
我们先讲倍增的思路。加入我们加入了((u，v))，我们必定要找到形成环上的的最大边和严格次大边，这样如果这条边的边权等于最大边就删去次大边，否则就删去最大边。对于求这个我们可以用倍增维护，每次维护最大边时比较简单，而次大边需要分两种：如果最大边相同，就取次大边中较大值；否则就取较小的最大边和另一个次大边中的较大值。
再说(prim)和(Kruskal)的思路。它们的基本思想都是在进行最小生成树时维护一个(Max)数组，表示最小生成树上两点路径上的最大边权。其实这个和倍增是有所重叠的，因为树上两点的边权可以用倍增求。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=600,MAXM=1e4+10;
const ll INF=(1LL<<50);
struct Edge
{
int x,y,w;
}e[MAXM];
int fa[MAXN],nxt[MAXM],head[MAXN],to[MAXM],w[MAXM];
int f[MAXN][21],dep[MAXN],tot;
ll g[MAXN][21][2];
bool used[MAXM];
bool cmp(Edge x,Edge y)
{
return x.w<y.w;
}
int find(int x)
{
return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
void add_edge(int x,int y,int v)
{
nxt[++tot]=head[x];
head[x]=tot;
to[tot]=y;
w[tot]=v;
}
int cal(int x,int k)
{
int y=f[x][k];
if(g[x][k][0]==g[y][k][0])
return max(g[x][k][1],g[y][k][1]);
else if(g[x][k][0]<g[y][k][0])
return max(g[x][k][0],g[y][k][1]);
else return max(g[x][k][1],g[y][k][0]);
}
void dfs(int u,int father)
{
dep[u]=dep[father]+1;
for(int i=0;i<=19;i++)
{
f[u][i+1]=f[f[u][i]][i];
g[u][i+1][0]=max(g[u][i][0],g[f[u][i]][i][0]);
g[u][i+1][1]=cal(u,i);
}
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=to[i];
if(v==father)continue ;
f[v][0]=u;
g[v][0][0]=w[i];
g[v][0][1]=-INF;
dfs(v,u);
}
}
int LCA(int x,int y)
{
if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
for(int i=20;i>=0;i--)
{
if(dep[f[x][i]]>=dep[y])x=f[x][i];
if(x==y)return x;
}
for(int i=20;i>=0;i--)
if(f[x][i]!=f[y][i])
{
x=f[x][i];
y=f[y][i];
}
return f[x][0];
}
ll qmax(int x,int y,int w)
{
ll res=-INF;
for(int i=20;i>=0;i--)
if(dep[f[x][i]]>=dep[y])
{
if(w!=g[x][i][0])res=max(res,g[x][i][0]);
else res=max(res,g[x][i][1]);
x=f[x][i];
}
return res;
}
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
scanf("%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].w);
sort(e+1,e+m+1,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++)
fa[i]=i;
int cnt=0;tot=0;
ll sum=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int fx=find(e[i].x),fy=find(e[i].y);
if(fx!=fy)
{
fa[fx]=fy;
cnt++;
add_edge(e[i].x,e[i].y,e[i].w);
add_edge(e[i].y,e[i].x,e[i].w);
used[i]=1;
sum+=e[i].w;
if(cnt==n-1)break ;
}
}
dfs(1,0);
ll ans=INF;
for(int i=1;i<=m;i++)
if(!used[i])
{
int lca=LCA(e[i].x,e[i].y);
int val=max(qmax(e[i].x,lca,e[i].w),qmax(e[i].y,lca,e[i].w));
ans=min(ans,sum-val+e[i].w);
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}