1. 系统函数的性质
1.1 变换的对偶性
不管是傅里叶变换的频域还是拉普拉斯变换的(s)域（下面统称(s)域），都是深入讨论LIT系统的有力工具，有时甚至是必备工具。(s)域的系统函数和时域的信号（单位冲激响应）是一对共生体，它们通过拉普拉斯变换生成彼此，同时也是连接两个域的纽带。对一个函数解析式，经常要对它做一些常规的分析操作，比如运算、平移、缩放、微积分、卷积等。一个很自然的问题是，在某个域的分析操作会对另一个域带来什么影响呢？本篇就来讨论这个问题。
在正式讨论之前，有必要再回顾一下拉普拉斯变换的公式。你可能一开始就注意到，正反变换存在一定的“对称性”，而仅在局部有微小差别。在数学上，两个概念如果通过类似的方法互相定义，它们就称为对偶的，从形式上不难看出，互为对偶的概念的性质也是对偶存在的，这就省去了相似论证的麻烦。信号(x(t))和拉普拉斯变换(H(s))之间不具有严格的对偶性，但这样的相似性仍然可以被使用。如果记(chi(omega)=dfrac{e^{sigma}}{sqrt{2pi}}X(sigma+jomega))，将得到更为对称的式（1），把这个关系记作变换(T)，显然有式（2）成立。以后变换的性质如果本身不是对称的，可以运用该式迅速得到另一个对称的性质，当然简单的性质直接证明会更快。
[x(t)=dfrac{1}{sqrt{2pi}}int_{-infty}^{infty}chi(omega)e^{jomega t}\, ext{d}omega;;;chi(omega)=dfrac{1}{sqrt{2pi}}int_{-infty}^{infty}x(t)e^{-jomega t}\, ext{d}t ag{1}]
[x(t)\,overset{T}leftrightarrow\,chi(omega);;Leftrightarrow;;chi(t)\,overset{T}leftrightarrow\,x(-omega) ag{2}]
1.2 拉普拉斯变换的性质
以下按函数运算的复杂程度，罗列LT的基本性质，过于直白的结论不加证明。需要注意的是，性质成立有它自己的ROC，并不完全受限于原LT的ROC。还有我们知道，ROC和积分在具体的(s)上的收敛性是不同的，以下性质在ROC外的收敛点仍然可以是成立的。
首先是函数的线性运算，在(s)域也是线性的（式（3））。然后看函数的平移，容易有式（4）左成立，在(s)域的平移还有式（4）右成立，这是一组对偶性质。当对函数进行伸缩时，频谱系数也跟着反比例伸缩（式（5）左）；特别地，(a=-1)时表示函数左右翻转（旋转180度），(s)域则也跟着旋转180度（式（5）右）。需要说明的是，LT是定义在实变量的复函数上的，故(x(t))也可以是复值函数。对LT右式两边取共轭（用(x^*)表示），再将(s)换成(s^*)，即得到(x^*(t))的FT（式（6）左）；对于实信号有(x^*(t)=x(t))，从而有式（6）右的频谱关系。
[ax(t)+by(t);overset{L}{leftrightarrow};aX(s)+bY(s) ag{3}]
[x(t-t_0);overset{L}{leftrightarrow};e^{-st_0}X(s);;;;e^{s_0t}x(t);overset{L}{leftrightarrow};X(s-s_0) ag{4}]
[x(at);overset{L}{leftrightarrow};dfrac{1}{|a|}X(dfrac{s}{a});;;x(-t);overset{L}{leftrightarrow};X(-s) ag{5}]
[x^*(t);overset{L}{leftrightarrow};X^*(s^*);;;X(s)=X^*(s^*) ag{6}]
本段来讨论LT在微积分下的性质，论证中会用到微分、积分顺序的交换，这可以由函数的一致收敛性得到（见微积分）。首先对LT逆变换式的两边分别取微分，可得式（7），它就是(x'(t))的拉普拉斯展开，所以频谱函数就是(sX(s))（式（8）左）。同样的方法，也可以得到(s)域微分的性质（式（8）右）。逆向使用微分性质，便能得到时域积分的LT公式（9），当(s=0)时性质不成立，但不影响公式在其它(s=jomega)上成立。
[x'(t)=dfrac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}X(s)se^{st}\, ext{d}omega ag{7}]
[dfrac{ ext{d}x(t)}{ ext{d}t};overset{L}{leftrightarrow};sX(s);;;-tx(t);overset{L}{leftrightarrow};dfrac{ ext{d}X(s)}{ ext{d}s} ag{8}]
[int_{-infty}^tx( au)\, ext{d} au+C;overset{L}{leftrightarrow};dfrac{X(s)}{s} ag{9}]
在微积分中我们知道，任何非奇异函数与三角函数(cosomega t)的积分，在(omega oinfty)时总是趋于(0)的。从而在拉普拉斯变换中，当(s oinfty)时（延虚轴方向）一定有(X(s) o 0)。当(x(t))含有奇异值时，这个性质不再成立，比如容易算得(delta(t))的LT是(1)。如果(x(t))的（高阶）微分仍不是奇异函数，利用公式（8）可以继续得到当(s oinfty)时(s^kX(s) o 0)。(x'(t))出现奇异值（比如仅在(t=0)处）的常见原因是，(x(t))出现了值跳变(Delta=x(0^+)-x(0^-))。这时可以把(x(t))拆成(Delta u(t)+g(t))，则(g(t),g'(t))都是非奇异的，对等式两边做拉普拉斯变换并整理得式（10）（(u(t))的LT为(1/s)）。当(s oinfty)时（延虚轴方向）(sG(s) o 0)，所以有式（11）左成立；当(s o 0)时回到(g'(t))的LT公式，可算得(sG(s) o g(+infty)-g(-infty))，加上(Delta)便有式（11）右成立。课本上还假定(x(t))在(t<0)时为(0)，即可以有(x(-infty)=x(0^-)=0)，这时的结论会更简洁一点，分别叫初值定理和终值定理。
[x(t)=Delta u(t)+g(t);Rightarrow;sX(s)=Delta+sG(s) ag{10}]
[lim_{s oinfty}sX(s)=x(0^+)-x(0^-);;;lim_{s o 0}sX(s)=x(+infty)-x(-infty) ag{11}]
最后来看卷积(x(t)*y(t))的拉普拉斯变换，它在LIT中可以阐述为：信号(x(t))在单位冲激响应为(y(t))的系统下的输出。(X(s))是(x(t))在基波(e^{st})下的密度系数（先忽略统一系数(dfrac{1}{2pi})）,(Y(s))是基波(e^{st})在系统下的响应系数，这样分支(X(s)e^{st})的系统响应就是(X(s)Y(s)e^{st})，所以总响应函数的密度系数就是(X(s)Y(s))。式（12）总结了这个重要的卷积性质，当然通过积分交换直接证明才是最严格的，请自行完成。卷积性质揭示了拉普拉斯分解对LIT系统的意义，时域的卷积在(s)域只是简单的乘法。其实这个结果也没什么好意外的，从讨论特征函数起，我们就在朝这个方向行进。
[x(t)*y(t);overset{L}{leftrightarrow};X(s)Y(s) ag{12}]
1.3 傅里叶变换的性质
傅里叶变换是拉普拉斯变换取(s=jomega)的特殊情况，故以上性质对FT也是成立的，请回顾以上性质并用(jomega)带入。做为特殊情况，傅里叶变换也必有自己独有的性质，这里专门进行阐述。比较有代表性的是式（13）的帕斯瓦尔定理（Parseval），你可以使用(|x(t)|^2=x(t)x^*(t))自行验证，这里从另一个角度阐述。信号是一种能量，(|x(t)|)蕴含着能量的大小，式（13）左即是信号能量的度量公式（平方不仅计算方便、也更符合现实意义）。另外不难证明，基波(ae^{jomega t})的能量是(|a|^2)，且不同频率基波的能量是互相独立的。这就是定理的直观解释，频谱系数(X(jomega))也被叫做能量谱。
[int_{-infty}^{infty}|x(t)|^2\, ext{d}t=dfrac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}|X(jomega)|^2\, ext{d}omega ag{13}]
式（5）左信号的伸缩，会带来频谱系数反向的伸缩，系数(1/|a|)保证了能量守恒。信号的时移（式（4）左）在频谱上只是乘上了函数(e^{-jomega t_0})，它的意义是在对相位调制(omega_0 t_0)而范数不变，这符合直观感觉。信号翻转时正好也带来频域的翻转（式（5）右），一对正负频率其实就是相反方向的。对实函数的性质式（6），偶函数还满足(x(t)=x(-t))，从而有(X(-jomega)=X^*(-jomega))，即(X(jomega))为实值函数；同样可知实奇函数的(X(jomega))为纯虚值函数。
上面提到过，式（9）在(s=0)处不收敛，而在其它(s=jomega)处仍然成立（如果(x(t))的FT收敛），现在需要专门计算(h(t)=int_{-infty}^tx( au)\, ext{d} au)在基波(e^0=1)上的频谱。如果(h(+infty)=X(0))存在，(h(t))的平均值是(X(0)/2)（不严谨），所以它对(1)的频谱就是(X(0)delta(t)/2)。综合便有(h(t))的频谱系数（式（14）），注意左部分要把(omega=0)去掉。另外，卷积性质（10）不具有对称性，利用对偶式（2）可以推出式（15）的乘法性质，它是“幅度调制”理论的基础。
[int_{-infty}^tx( au)\, ext{d} au;overset{F}{leftrightarrow};dfrac{X(jomega)}{jomega}+pi X(0)delta(omega) ag{14}]
[x(t)y(t);overset{F}{leftrightarrow};dfrac{1}{2pi}X(jomega)*Y(jomega) ag{15}]
傅里叶级数可以纳入傅里叶变换的公式，以上性质基本也适用于FS，只需把(omega)换成(komega_0)、并注意频谱系数的意义差别。但有两个性质需要单独论证，请自行证明。一个是帕斯瓦尔定理，式（16）将能量定义在一个周期上；另一个是周期卷积性质（式（17）），周期函数的卷积只计算一个周期的积分。
[int_T|x(t)|^2\, ext{d}t=Tsum_{kinBbb{N}}|a_k|^2 ag{16}]
[x(t)*y(t);overset{FS}leftrightarrow; Ta_kb_k ag{17}]
2. 常见系统函数
这里列举一些基础的系统函数，说它们基础是指，它们简单但能构建起更复杂的系统，或者通过变换性质将一个系统快速地生成为另一系统。先来看最简单的(delta(t))，直接带入变换式便有式（18）左。它的直观意义很明显，将所有基波零相移地叠加，在(t=0)处会产生单位冲击，而其它位置为0。回到分解式可以有(int_{-infty}^{infty}1\, ext{d}omega=2pidelta(0))，这个反直观的结论在奇异函数的世界里就是成立的，直接使用它能让前面困难的推导顺畅起来。继续对(delta(t))微分便有式（18）右，这样(s)的多项式的逆变换就都有了。
[delta(t);overset{L}{leftrightarrow};1;;;u_n(t);overset{L}{leftrightarrow};s^n ag{18}]
阶跃函数(u(t))的微分是(delta(t))，根据积分性质可知频谱系数为(dfrac{1}{s})，当然也可以直接计算并得到ROC是(sigma>0)（式（19）左）。(u(t)-1=-u(-t))的微分还是(delta(t))，它的LT也有非空的ROC（式（19）右）。式（19）提醒我们，变换式不能唯一确定逆变换，还需要加入ROC的因素。另外，有了简单分式(dfrac{1}{s})，利用(s)域的平移性质和积分性质，可以得到式（20）的变换（(a)为复数）。组合两者就能得到(dfrac{1}{(s-a)^n})的逆变换，当然把(u(t))换成(-u(-t))都还有一个解，且ROC为(sigma<0)。
[u(t);overset{L}{leftrightarrow};dfrac{1}{s},;(sigma>0);;;;-u(-t);overset{L}{leftrightarrow};dfrac{1}{s},;(sigma<0) ag{19}]
[e^{at}u(t);overset{L}{leftrightarrow};dfrac{1}{s-a};;;u_{-n}(t)=dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}u(t);overset{L}{leftrightarrow};dfrac{1}{s^n} ag{20}]
复数域内的任何分式都可以分解为多项式和一些简单分式(dfrac{1}{(s-a)^n})的和，故任何分式系统函数的逆变换都能给出。如果限定在实数域，分式还可能分解出二次项因子(dfrac{cs+d}{(s^2-2as+b)^n})，其中二次项可写成((s-a)^2+omega^2)。二次项的两个根为(apm jomega)，可以先在复数域求一次项的逆变换（先设(a=0)），再把共轭的一次项合并便能得到式（21）。结合(s)域平移和卷积便能得到一般二次项因子的逆变换，还要注意使用(-u(-t))的另一个解，至此实数域分式的逆变换也解决了。
[cosomega tcdot u(t);overset{L}{leftrightarrow};dfrac{s}{s^2+omega^2};;;sinomega tcdot u(t);overset{L}{leftrightarrow};dfrac{1}{s^2+omega^2} ag{21}]