题解：2018级算法第四次上机 C4-最小乘法

题目描述：

 

样例：

 

实现解释：

和字符串处理结合的动态规划，个人认为比较难分析出状态转移方程，虽然懂了之后挺好理解的

知识点：

动态规划，字符串转数字

题目分析：

首先按照最基础：依据题意设计原始dp数组，这里根据描可知有三个数需要考虑：数字串开始，数字串结尾和之间插入的乘号数量，因此基础dp[i][j][k]，分别为开始，结束脚标和乘号数。

然后推导：考虑到添加乘号，为了使状态转移方程简单，最后固定位置，因此可以考虑每次都在最后插入乘号，插入乘号的位置便可倒序确定。此时数字串的开始位置便可固定为0（因为添加乘号都在最后添加，因此可以不必考虑开始），则有dp[i][j]，分别为结束脚标和乘号数量。

得出状态转移方程：乘号在最后插入，插入之间有j-1个乘号，前面有i+1个数字，因此插入乘号的位置可从j+1一直到i-1脚标的数字后（保证能放下j个乘号），则需要比较的就是dp[i][j]和dp[i-k][j-1]*getNum(i-k+1,i);k为插入乘号后最后一个数字的位数（根据脚标范围而定），前者即插入乘号前面的最大值，后者即乘号后面的值，循环找最大既是dp[i][j]的最大值。

注：初始化需要对插入0个乘号时dp[i][0]进行特殊处理，其他均为0

难点：

状态转移方程的实现，状态转移时数字字符串脚标的确定

完整代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<sstream>
using namespace std;
long long dp[20][15];
string num;
long long getNum(int i,int j)
{
    string temp = num.substr(i,j-i+1);
    //基于开始脚标和长度截取字符串 
    stringstream ss;
    long long strnum;//由于最大18位，因此可以直接转化 
    ss << temp;//传入流 
    ss >> strnum;//流导出自动转化数字 
    return strnum;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false); 
    int n,length,minc,maxl;
    long long now;
    while(cin >> n)
    {
        cin >> num;
        length = num.length();
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        //0个乘号时赋初值，这里用dp[i-1][0]*10+num[i]-'0'的方法更快些 
        for(int i = 0;i<length;i++) dp[i][0] = getNum(0,i);
        //0的已经处理，从1开始 
        for(int i = 1;i<length;i++)//当前到达的字符串脚标为i 
        {
            minc = min(n,i);//最多可放的乘号数 
            for(int j = 1;j<=minc;j++)//0~i中插入j个乘号
            {
                maxl = i-j+1;//插入的极限位置界定，依据i>=k+j-1得出 
                for(int k = 1;k<=maxl;k++)//k为插入称号后最后一个数字的位数
                {
                    //乘号的插入位置为即i-k脚标的数字后 
                    //因此获取数字时i-k+1即最后数字的开始脚标 
                    now = dp[i-k][j-1]*getNum(i-k+1,i);//加快计算 
                    if(now > dp[i][j])
                    {
                        dp[i][j] = now;
                    }
                }
            }
        }
        cout << dp[num.length()-1][n] << '
';
    }
    return 0;
}