动态规划——最大连续子序列和

　　最大连续子序列和问题如下：

　　下面介绍动态规划的做法，复杂度为 O(n)。

　　步骤 1：令状态 dp[i] 表示以 A[i] 作为末尾的连续序列的最大和（这里是说 A[i] 必须作为连续序列的末尾）。

　　步骤 2：做如下考虑：因为 dp[i] 要求是必须以 A[i] 结尾的连续序列，那么只有两种情况：

1. 1.  这个最大和的连续序列只有一个元素，即以 A[i] 开始，以 A[i] 结尾。
   2.  这个最大和的连续序列有多个元素，即从前面某处 A[p] 开始 (p<i)，一直到 A[i] 结尾。

　　对第一种情况，最大和就是 A[i] 本身。

　　对第二种情况，最大和是 dp[i-1]+A[i]。

　　于是得到状态转移方程：

　　　　　　　　dp[i] = max{A[i], dp[i-1]+A[i]}

　　这个式子只和 i 与 i 之前的元素有关，且边界为 dp[0] = A[0]，由此从小到大枚举 i，即可得到整个 dp 数组。接着输出 dp[0]，dp[1]，...，dp[n-1] 中的最大子即为最大连续子序列的和。

　　代码如下：

/*
    最大连续子序列和 
*/

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <stdbool.h>

#define maxn 10010
int A[maxn], dp[maxn];    // A[i] 存放序列，dp[i] 存放以 A[i] 为结尾的连续序列的最大和 

// 求较大值
int max(int a, int b) {
    return a>b ? a : b; 
} 

int main() {
    int n, i, k;
    scanf("%d", &n);
    for(i=0; i<n; ++i) {        // 输入序列 
        scanf("%d", &A[i]);
    }
    dp[0] = A[0];                // 边界
    for(i=1; i<n; ++i) {
        // 状态转移方程 
        dp[i] = max(A[i], dp[i-1] + A[i]);
    } 
    // 求最大连续子序列和 
    k = dp[0];
    for(i=1; i<n; ++i) {
        if(dp[i] > k) {
            k = dp[i];
        }
    }
    printf("%d
", k);        // 输出 

    return 0;
}

　　此处顺便介绍无后效性的概念。状态的无后效性是指：当前状态记录了历史信息，一旦当前状态确定，就不会再改变，且未来的决策只能在已有的一个或若干个状态的基础上进行，历史信息只能通过已有的状态去影响未来的决策。针对本节问题来说，每次计算状态 dp[i]，都只会涉及 dp[i-1]，而不直接用到 dp[i-1] 蕴含的历史消息。