• Dijkstra


    原创


      Dijkstra算法用于求最短路径。

      

      用邻接矩阵存储图,若求1到其余顶点的最短路径,用数组dis存储1到其余顶点的最短路径。

      dis初始化即顶点1到其余顶点的初始距离,不直接相连的即为无穷大,上图中dis初始化为0/15/10/16/30。

      接下来从数组dis中选出一个最小值,上图中为10(0为到自身的距离),则1到3的最短距离即为10,理解

    这一点很重要,因为与1直接相连的点中距离最小的顶点是3,距离是10,若通过其余顶点其余路径到达3,距离

    都会大于10,所以1到顶点3的最短路径已经确认了,以后无需更新。

      确认了这条最短路径,比较好好利用它,看看1通过这条最短路径能不能缩短1到其余顶点的距离,比如上图

    中1到5的距离为30,但是通过最短路径1到3再到5就能缩短1都5的距离,其余边也要一一判断缩小,此过程称为“松弛”。

      Dijkstra求最短路径的基本步骤如下:

      1.  将所有的顶点分为两部分:已知最短路径的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。最开始,已知最短路径

        的顶点集合P中只有源点一个顶点。我们这里用一个book数组来记录哪些点在集合P中。例如对于某个顶点i,如

        果book[i]为1则表示这个顶点在集合P中,反之,则在集合Q中。

      2.  设置源点s到自己的最短路径为0即dis[s]=0.若存在有源点能直接到达的顶点i,则把dis[i]设为matrix[s][i],

        matrix为邻接矩阵。同时把所有其他(源点不能直接到达的)顶点的最短路径设为∞。

      3.  在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u(即dis[u]最小)加入到集合P中。并考察所有以点u为起点的边,

        对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从u到v的边,那么可以通过将边u-v添加到尾部来拓展一条从s到v的路径,这

        条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小,我们可以用新值来替代当前dis[v]中的值。

      4.  重复第3步,如果集合Q为空,算法结束。最终dis数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。

     1 import java.util.*;
     2 
     3 public class Dijkstra {
     4     
     5     static int v;    //顶点
     6     static int e;    //
     7     static int aim;    //aim与其余顶点的最短路径
     8     static int matrix[][];    //邻接矩阵
     9     static int book[];    //标记数组
    10     static int dis[];    //存储与其他顶点的距离
    11     static int min=99999;
    12     static int inf=99999;
    13 
    14     public static void main(String[] args) {
    15         Scanner reader=new Scanner(System.in);
    16         v=reader.nextInt();
    17         e=reader.nextInt();
    18         aim=reader.nextInt();
    19         matrix=new int[v+1][v+1];    //从1开始编号
    20         book=new int[v+1];
    21         dis=new int[v+1];
    22         //矩阵初始化
    23         for(int i=1;i<=v;i++) {
    24             book[i]=0;
    25             for(int j=1;j<=v;j++) {
    26                 if(i==j) {
    27                     matrix[i][j]=0;
    28                 }
    29                 else {
    30                     matrix[i][j]=inf;
    31                 }
    32             }
    33         }
    34         book[aim]=1;    //求aim到其余顶点的距离
    35         //读入边
    36         for(int i=1;i<=e;i++) {
    37             int first_City=reader.nextInt();
    38             int second_City=reader.nextInt();
    39             int value=reader.nextInt();
    40             matrix[first_City][second_City]=value;    //有向图
    41         }
    42         //数组dis初始化
    43         for(int i=1;i<=v;i++) {
    44             dis[i]=matrix[aim][i];
    45         }
    46         for(int i=1;i<=v-1;i++) {    //循环v-1次,每次确认一个顶点
    47             int u=-1;
    48             min=inf;
    49             //寻找距离aim最近的点
    50             for(int j=1;j<=v;j++) {
    51                 if(book[j]==0 && dis[j]<min) {
    52                     min=dis[j];
    53                     u=j;
    54                 }
    55             }
    56             if(u==-1) {
    57                 break;
    58             }
    59             book[u]=1;    //确认顶点u
    60             //松弛
    61             for(int z=1;z<=v;z++) {
    62                 if(matrix[u][z]<inf) {
    63                     if(dis[z]>dis[u]+matrix[u][z]) {    //更新距离
    64                         dis[z]=dis[u]+matrix[u][z];
    65                     }
    66                 }
    67             }
    68         }
    69         for(int i=1;i<=v;i++) {
    70             System.out.print(dis[i]+" ");
    71         }
    72     }
    73 
    74 }

    14:32:02

    2018-07-29

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